Calculer une probabilité de type P(X<=a) à l'aide de la loi de probabilité de la variable aléatoire X Exercice

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Dernière modification : 12/05/2025 - Conforme au programme 2025-2026

Un jeu consiste à lancer une pièce de monnaie bien équilibrée. On lance successivement la pièce en respectant ces règles :

Si on obtient pile après un lancer, on gagne 5 € et on relance la pièce.
Si on obtient face après un lancer, le jeu s'arrête.
Si on vient de lancer 3 fois la pièce, le jeu s'arrête après avoir éventuellement empoché les gains liés au dernier lancer.

On appelle X la variable aléatoire qui compte le gain en euros.

Calculer P(X \leqslant 5).

P(X\leqslant 5)=\dfrac{1}{8}

P(X\leqslant 5)=\dfrac{1}{4}

P(X\leqslant 5)=\dfrac{3}{4}

P(X\leqslant 5)=\dfrac{1}{2}

Le loi de probabilité de la variable aléatoire X est :

P(X=0)=\dfrac{1}{2}
P(X=5)=\dfrac{1}{4}
P(X=10)=\dfrac{1}{8}
P(X=15)=\dfrac{1}{8}

Les valeurs possible de X inférieures ou égales à 5 sont 0 et 5.
Ainsi, on obtient :
P(X\leqslant 5)=P(X=0)+P(X=5)
P(X\leqslant 5)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}
P(X\leqslant 5)=\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}

Donc P(X\leqslant 5)=\dfrac{3}{4}

Un jeu consiste à lancer une pièce de monnaie bien équilibrée. On lance successivement la pièce en respectant ces règles :

Si on obtient pile après un lancer, on gagne 4 € et on relance la pièce.
Si on obtient face après un lancer, le jeu s'arrête.
Si on vient de lancer 6 fois la pièce, le jeu s'arrête après avoir éventuellement empoché les gains liés au dernier lancer.

On appelle X la variable aléatoire qui compte le gain en euros.

Calculer P(X \leqslant 16).

P(X\leqslant 16)=\dfrac{1}{16}

P(X\leqslant 16)=\dfrac{15}{16}

P(X\leqslant 16)=\dfrac{1}{32}

P(X\leqslant 16)=\dfrac{31}{32}

Le loi de probabilité de la variable aléatoire X est :

P(X=0)=\dfrac{1}{2}
P(X=4)=\dfrac{1}{4}
P(X=8)=\dfrac{1}{8}
P(X=12)=\dfrac{1}{16}
P(X=16)=\dfrac{1}{32}
P(X=20)=\dfrac{1}{64}
P(X=24)=\dfrac{1}{64}

Les valeurs possible de X inférieures ou égales à 16 sont 0, 4, 8, 12 et 16.
Ainsi, on obtient :
P(X\leqslant 16)=P(X=0)+P(X=4)+P(X=8)+P(X=12)+P(X=16)
P(X\leqslant 16)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}
P(X\leqslant 16)=\dfrac{16+8+4+2+1}{32}

Donc P(X\leqslant 16)=\dfrac{31}{32}

Un jeu consiste à lancer une pièce de monnaie bien équilibrée. On lance successivement la pièce en respectant ces règles :

Si on obtient pile après un lancer, on gagne 5 € et on relance la pièce.
Si on obtient face après un lancer, le jeu s'arrête.
Si on vient de lancer 3 fois la pièce, le jeu s'arrête après avoir éventuellement empoché les gains liés au dernier lancer.

On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de lancers de pièce.

Calculer P(X \leqslant 1).

P(X\leqslant 1)=\dfrac{3}{4}

P(X\leqslant1)=\dfrac{1}{2}

P(X\leqslant 1)=\dfrac{1}{8}

P(X\leqslant1)=\dfrac{1}{4}

Le loi de probabilité de la variable aléatoire X est :

P(X=1)=\dfrac{1}{2}
P(X=2)=\dfrac{1}{4}
P(X=3)=\dfrac{1}{4}

La valeur possible de X inférieure ou égale à 1 est 1.
Ainsi, on obtient :
P(X\leqslant 1)=P(X=1)
P(X\leqslant 1)=\dfrac{1}{2}

Donc P(X\leqslant 1)=\dfrac{1}{2}

Un jeu consiste à lancer une pièce de monnaie bien équilibrée. On lance successivement la pièce en respectant ces règles :

Si on obtient pile après un lancer, on gagne 5 € et on relance la pièce.
Si on obtient face après un lancer, le jeu s'arrête.
Si on vient de lancer 6 fois la pièce, le jeu s'arrête après avoir éventuellement empoché les gains liés au dernier lancer.

On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de lancers de pièce.

Calculer P(X \leqslant 4).

P(X \leqslant 4)=\dfrac{7}{8}

P(X \leqslant 4)=\dfrac{15}{16}

P(X \leqslant 4)=\dfrac{1}{16}

P(X \leqslant 4)=\dfrac{1}{8}

Le loi de probabilité de la variable aléatoire X est :

P(X=1)=\dfrac{1}{2}
P(X=2)=\dfrac{1}{4}
P(X=3)=\dfrac{1}{8}
P(X=4)=\dfrac{1}{16}
P(X=5)=\dfrac{1}{32}
P(X=6)=\dfrac{1}{32}

Les valeurs possibles de X inférieures ou égales à 4 sont 1, 2, 3 et 4.
Ainsi, on obtient :
P(X\leqslant 4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=2)
P(X \leqslant 4)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}

Donc P(X \leqslant 4)=\dfrac{15}{16}

Un jeu consiste à lancer une pièce de monnaie bien équilibrée. On lance successivement la pièce en respectant ces règles :

Si on obtient pile après un lancer, on gagne 4 € et on relance la pièce.
Si on obtient face après un lancer, le jeu s'arrête.
Si on vient de lancer 5 fois la pièce, le jeu s'arrête après avoir éventuellement empoché les gains liés au dernier lancer.

On appelle X la variable aléatoire qui compte le gain en euros.

Calculer P(X \leqslant 15).

P(X \leqslant 15)=\dfrac{1}{16}

P(X \leqslant 15)=\dfrac{15}{16}

P(X \leqslant 15)=\dfrac{1}{4}

P(X \leqslant 15)=\dfrac{1}{8}

Le loi de probabilité de la variable aléatoire X est :

P(X=0)=\dfrac{1}{2}
P(X=4)=\dfrac{1}{4}
P(X=8)=\dfrac{1}{8}
P(X=12)=\dfrac{1}{16}
P(X=16)=\dfrac{1}{32}
P(X=20)=\dfrac{1}{32}

Les valeurs possible de X inférieures ou égales à 15 sont 0, 4, 8 et 12.
Ainsi, on obtient :
P(X\leqslant 15)=P(X=0)+P(X=4)+P(X=8)+P(X=12)
P(X \leqslant 15)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}
P(X \leqslant 15)=\dfrac{8}{16}+\dfrac{4}{16}+\dfrac{2}{16}+\dfrac{1}{16}

Donc P(X \leqslant 15)=\dfrac{15}{16}