Le théorème de König-Huygens est le suivant :
Soit X une variable aléatoire :
V(X) = E(X^2) -[E(X)]^2)
On va démontrer ce théorème.
Pour cela, on considère une variable aléatoire d'univers \Omega = \{x_1,...,x_n \} telle que :
\forall i \in {1,...,n} P(X=x_i) = p_i
Quelle est la formule définissant la variance de X avec les notations de l'exercice ?
La variance d'une variable aléatoire X est définie par :
V(X) = \sum_{\omega \space \in `\space \Omega} [\omega-E(X)]^2 P(X=\omega)
Avec les notations de l'exercice, on obtient donc :
V(X) = \sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2
En développant le carré sous la somme, sous quelle forme peut-on développer V(X) pour faire apparaître trois sommes ?
On a :
V(X) = \sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2
On peut développer le carré :
V(X) = \sum_{i=1}^n p_i (x_i^2 - 2E(X)x_i + [E(X)]^2)
V(X) = \sum_{i=1}^n p_ix_i^2 - 2E(X)p_ix_i + p_i[E(X)]^2
On peut ainsi séparer la somme en trois sommes distinctes :
V(X) = \sum_{i=1}^n p_ix_i^2 - \sum_{i=1}^n 2E(X)p_ix_i +\sum_{i=1}^n p_i[E(X)]^2
En factorisant les sommes, on obtient donc :
V(X) = \sum_{i=1}^n p_ix_i^2 - 2 E(X) \sum_{i=1}^n p_ix_i + [E(X)]^2\sum_{i=1}^n p_i
Quelle est la valeur de \sum_{i=1}^n p_ix_i ?
On cherche à identifier \sum_{i=1}^n p_ix_i .
On reconnaît la définition de l'espérance de X.
Ainsi, \sum_{i=1}^n p_ix_i = E(X).
Quelle est la valeur de \sum_{i=1}^n p_i ?
On cherche à identifier \sum_{i=1}^n p_i .
Cette somme est la somme de toutes les probabilités de l'univers de X.
Donc \sum_{i=1}^n p_i .
Avec les deux termes que l'on a identifiés, on peut exprimer V(X) de la façon suivante :
V(X) = \sum_{i=1}^n p_ix_i^2 - 2 E(X) \sum_{i=1}^n p_ix_i + [E(X)]^2\sum_{i=1}^n p_i
V(X) = \sum_{i=1}^n p_ix_i^2 - 2 E(X) E(X) + [E(X)]^2
V(X) = \sum_{i=1}^n p_ix_i^2 - [E(X)]^2
V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
On a bien démontré le théorème de König-Huygens.
Ainsi, \sum_{i=1}^n p_i = 1.