Soit t \in \mathbb{R}.
On considère la variable aléatoire X définie par la loi de probabilité suivante :
| x_i | -10 | -5 | t | 5 | 10 |
| P(X=x_i) | \dfrac{1}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{6}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{1}{12} |
On cherche l'ensemble des valeurs possibles de l'écart type de X en fonction de t.
Quelle est l'espérance de la variable aléatoire X ?
Soit t \in \mathbb{R}.
L'espérance de la variable aléatoire X est donnée par la formule :
E(X) = P(X=-10)\times (-10) +P(X=-5)\times (-5) +P(X=t)\times t +P(X=5)\times 5 + P(X=10)\times 10
E(X) = \dfrac{1}{12}\times (-10) +\dfrac{3}{12}\times (-5) +\dfrac{6}{12}\times t +\dfrac{3}{12}\times 5 + \dfrac{1}{12}\times 10
E(X) = \dfrac{1}{12}(-10-15+6t+15+10)
E(X) = \dfrac{6t}{12}
E(X) = \dfrac{t}{2}
L'espérance de la variable aléatoire X dépend du paramètre t et vaut donc :
E(X) = \dfrac{t}{2}
Quelle la variance de la variable aléatoire X ?
Soit t \in \mathbb{R}.
La variance de la variable aléatoire X est donnée par la formule :
V(X) = P(X=-10)\times (-10)^2 +P(X=-5)\times (-5)^2 +P(X=t)\times t^2 +P(X=5)\times 5^2 + P(X=10)\times 10^2 - E(X)^2
V(X) = \dfrac{1}{12}\times 100 +\dfrac{3}{12}\times 25 +\dfrac{6}{12}\times t^2 +\dfrac{3}{12}\times 25 + \dfrac{1}{12}\times 100
\dfrac{t^2}{4}
V(X) = \dfrac{1}{12}(100+75+6t^2+75+100)-\dfrac{t^2}{4}
V(X) = \dfrac{1}{12}(350+6t^2)-\dfrac{t^2}{4}
V(X) = \dfrac{350+3t^2}{12}
La variance de la variable aléatoire X dépend du paramètre t et vaut donc :
V(X) = \dfrac{350+3t^2}{12}
Quel est l'ensemble S des valeurs que peut prendre l'écart type \sigma de la variable aléatoire X ?
On a montré que :
V(X) = \dfrac{350+3t^2}{12}
Donc :
\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{350+3t^2}{12}}
On sait que :
\forall t \in \mathbb{R}, t^2 \geqslant 0
Donc :
\forall t \in \mathbb{R}, 3t^2 \geqslant 0
\forall t \in \mathbb{R}, 350+3t^2 \geqslant 350
\forall t \in \mathbb{R}, \dfrac{350+3t^2}{12} \geqslant \dfrac{350}{12}
La fonction racine carrée étant positive sur \mathbb{R}_+^*, on a :
\forall t \in \mathbb{R}, \sqrt{\dfrac{350+3t^2}{12}} \geqslant \sqrt{\dfrac{350}{12}}
Finalement :
\forall t \in \mathbb{R}, \sigma(X) \geqslant \sqrt{\dfrac{350}{12}}
Donc :
S = \left[\sqrt{\dfrac{350}{12}}; +\infty \right[
L'ensemble S des valeurs que peut prendre l'écart type \sigma de la variable aléatoire X est donc :
S = \left[\sqrt{\dfrac{350}{12}}; +\infty \right[