Soit X une variable aléatoire quelconque dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
| x_i) | x_1) | x_2) | x_3) | x_4) | x_5) | x_6) | x_7) | x_8) | x_9) |
| \P(X=x_i)\) | p_1 | p_2 | p_3 | p_4 | p_5 | p_6 | p_7 | p_8 | p_9 |
On souhaite écrire un algorithme qui calcule l'espérance de la variable aléatoire X.
Avec les notations de l'exercice, quelle est la formule de l'espérance de X ?
L'espérance d'une variable aléatoire X définie sur l'univers \Omega = \{ x_1,.......x_n\} est définie par :
E(X) = \sum_{k=1}^n x_k P(X=x_k)
Dans notre cas :
\Omega = \{ x_1,.......x_9\}
Et pour tout k :
P(X=x_k) = p_k
Avec les notation de l'exercice, la formule de l'espérance de la variable aléatoire X est :
E(X) = \sum_{k=1}^9 x_k p_k
En Python, comment sont définies les listes x et p qui respectivement donnent l'univers de la variable aléatoire X et la loi de probabilité de X ?
Afin de créer un algorithme qui calcule l'espérance de X, il faut créer deux listes qui correspondent à l'univers de X et la loi de probabilité.
Afin de faciliter les calculs, il faut faire attention à l'ordre des éléments dans les listes : il faut que l'ordre soit le même dans les deux listes de façon à toujours pouvoir relier la probabilité à l'événement.
Ainsi, une façon simple de définir ces deux listes est la suivante :
x = [ x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9]
p = [ p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9]
Quelle fonction écrite en Python permet, pour x et p donnés, de calculer l'espérance de X ?
Comme rappelé dans la question 1, l'espérance est la somme des x_i \times p_i.
Une façon de définir une fonction Python qui calcule l'espérance de X est donc de parcourir les deux listes x et p et d'ajouter au fur et à mesure du parcours les produits des éléments de même rang.
Ainsi, une fonction écrite en Python qui permet de calculer l'espérance de la variable aléatoire X est la suivante :
def esperance(x,p):
E=0
for k in range(len(x)):
E+=x[k]*p[k]
return E