Démontrer par récurrence qu'une suite est bornée Exercice

On considère la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0\in\left[ 0;1 \right] \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=u_n \left(2-u_n\right) \end{cases}

Quelle proposition démontre que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant1 ?

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0\in\left[ 0;1 \right]

Donc 0\leqslant u_0\leqslant1

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant1

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant1

1\leqslant 2- u_n\leqslant2

0\leqslant\left( 2- u_n\right) u_n\leqslant2

Or, u_n\left(2-u_n\right) -1= - u_n^2 +2u_n -1 = -\left(u_n-1\right)^2

donc u_n\left(2-u_n\right) -1\leqslant0

Ainsi, u_n\left(2-u_n\right) \leqslant1

Finalement, u_{n+1} \leqslant1

On a bien ce que l'on voulait prouver : 0\leqslant u_{n+1} \leqslant1

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant1.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0\in\left[ 0;1 \right]

Donc 0\leqslant u_0\leqslant1

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant1

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant1

1\geqslant 2- u_n\geqslant2

0\leqslant\left( 2- u_n\right) u_n\leqslant2

Or, u_n\left(2-u_n\right) -1= - u_n^2 +2u_n -1 = -\left(u_n-1\right)^2

donc u_n\left(2-u_n\right) -1\leqslant0

Ainsi, u_n\left(2-u_n\right) \leqslant1

Finalement, u_{n+1} \leqslant1

On a bien ce que l'on voulait prouver : 0\leqslant u_{n+1} \leqslant1

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant1.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0\in\left[ 0;1 \right]

Donc 0\leqslant u_0\leqslant1

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant1

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant1

1\leqslant 2- u_n\leqslant2

0\geqslant\left( 2- u_n\right) u_n\geqslant2

Or, u_n\left(2-u_n\right) -1= - u_n^2 +2u_n -1 = -\left(u_n-1\right)^2

donc u_n\left(2-u_n\right) -1\leqslant0

Ainsi, u_n\left(2-u_n\right) \leqslant1

Finalement, u_{n+1} \leqslant1

On a bien ce que l'on voulait prouver : 0\leqslant u_{n+1} \leqslant1

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant1.

INITIALISATION

On montre que la propriété est vraie au rang n=0.

On a u_0\in\left[ 0;1 \right]

Donc 0\leqslant u_0\leqslant1

La propriété est bien vérifiée au rang n=0.

HEREDITE

Soit n\in \mathbb{N}. Supposons que la propriété est vraie au rang n, montrons qu'alors elle est vraie au rang \left(n+1\right)

On veut donc démontrer que 0\leqslant u_{n+1}\leqslant1

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on a :

0\leqslant u_n\leqslant1

1\leqslant 2- u_n\leqslant2

0\leqslant\left( 2- u_n\right) u_n\leqslant2

Or, u_n\left(2-u_n\right) -1= - u_n^2 +2u_n -1 = \left(u_n-1\right)^2

donc u_n\left(2-u_n\right) -1\geqslant0

Ainsi, u_n\left(2-u_n\right) \leqslant1

Finalement, u_{n+1} \leqslant1

On a bien ce que l'on voulait prouver : 0\leqslant u_{n+1} \leqslant1

La propriété est donc héréditaire.

CONCLUSION

La propriété est initialisée et héréditaire. Ainsi, pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant1.

On considère la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n + 1}\end{cases}

On souhaite montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

Lesquelles de ces parties de la récurrence sont fausses ou incomplètes ?

Initialisation :
u_0 \leqslant2 donc la propriété est vérifiée au rang n = 0

Hérédité :
Supposons que \forall n \in\mathbb{N},0\leqslant u_n\leqslant2 , montrons qu'alors 0\leqslant u_{n+1}\leqslant2

Hérédité :
Soit n \in\mathbb{N}. Supposons que 0\leqslant u_n\leqslant2 , montrons qu'alors 0\leqslant u_{n+1}\leqslant2

Conclusion :
La propriété est initialisée et héréditaire donc 0\leqslant u_{n+1}\leqslant2

On considère la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n + 1}\end{cases}

On souhaite montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

Lesquelles de ces parties de la récurrence sont fausses ou incomplètes ?

Initialisation :
0\leqslant u_0 \leqslant2 donc la propriété est vérifiée au rang n = 0

Hérédité :
Supposons que 0\leqslant u_n\leqslant2 , montrons qu'alors 0\leqslant u_{n+1}\leqslant2

Hérédité :
Montrons que \forall n \in\mathbb{N}, 0\leqslant u_{n+1}\leqslant2

Conclusion :
La propriété est initialisée et héréditaire donc \forall n \in\mathbb{N}, 0\leqslant u_{n}\leqslant2

On considère la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n + 1}\end{cases}

On souhaite montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

Comment effectuer les calculs de l'hérédité ?

Par hypothèse de récurrence :
0\leqslant u_n\leqslant2
1\leqslant u_n+1\leqslant3
Comme la fonction x \longmapsto \sqrt{x} est strictement croissante sur \mathbb{R}^+, on obtient :
\sqrt{1}\leqslant u_{n+1} \leqslant\sqrt{3}
Et, comme 0\leqslant1 et \sqrt{3}\leqslant\sqrt{4} :
0\leqslant u_{n+1} \leqslant\sqrt{4}
0\leqslant u_{n+1} \leqslant2

Par hypothèse de récurrence :
0\leqslant u_n\leqslant2
1\leqslant u_n+1\leqslant3
Comme la fonction x \longmapsto \sqrt{x} est strictement décroissante sur \mathbb{R}^+, on obtient :
1\leqslant u_{n+1} \leqslant\sqrt{3}
Et, comme 0\leqslant1 et \sqrt{3}\leqslant\sqrt{4} :
0\leqslant u_{n+1} \leqslant\sqrt{4}
0\leqslant u_{n+1} \leqslant2

Par hypothèse de récurrence :
0\leqslant u_n\leqslant2
1\leqslant u_{n+1}\leqslant3
Et, comme 0\leqslant1 et 2\leqslant3 :
0\leqslant u_{n+1} \leqslant2

Par hypothèse de récurrence :
0\leqslant u_n\leqslant2
0+1\leqslant u_n\leqslant2+1
1\leqslant u_{n+1}\leqslant3
Et, comme 0\leqslant1 et 2\leqslant3 :
0\leqslant u_{n+1} \leqslant2

On considère la suite \left(u_n\right) définie par :

\begin{cases} u_0=0 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},u_{n+1}=\sqrt{u_n + 2}\end{cases}

On souhaite montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0\leqslant u_n\leqslant2.

Comment effectuer les calculs de l'hérédité ?

Par hypothèse de récurrence :
0\leqslant u_n\leqslant2
2\leqslant u_n+2\leqslant4
Comme la fonction x \longmapsto \sqrt{x} est strictement croissante sur \mathbb{R}^+, on obtient :
\sqrt{2}\leqslant u_{n+1} \leqslant\sqrt{4}
Et, comme 0\leqslant\sqrt{2}
0\leqslant u_{n+1} \leqslant\sqrt{4}
0\leqslant u_{n+1} \leqslant2

Par hypothèse de récurrence :
0\leqslant u_n\leqslant2
2\leqslant u_n+2\leqslant4
Comme la fonction x \longmapsto \sqrt{x} est strictement croissante sur \mathbb{R}, on obtient :
\sqrt{2}\leqslant u_{n+1} \leqslant\sqrt{4}
Et, comme 0\leqslant\sqrt{2}
0\leqslant u_{n+1} \leqslant\sqrt{4}
0\leqslant u_{n+1} \leqslant2

Par hypothèse de récurrence :
0\leqslant u_n\leqslant2
1\leqslant u_{n+1}\leqslant3
Et, comme 0\leqslant1 et 2\leqslant3
0\leqslant u_{n+1} \leqslant2

Par hypothèse de récurrence :
0\leqslant u_n\leqslant2
0+1\leqslant u_{n+1}\leqslant2+1
1\leqslant u_{n+1}\leqslant3
Et, comme 0\leqslant1 et 2\leqslant3
0\leqslant u_{n+1} \leqslant2