Quelle est l'expression dérivée de la fonction f définie sur \left] 0 ; +\infty \right[ par f\left(x\right) = \dfrac{\ln\left(x^2+2x\right)}{\ln x} ?
La fonction f est dérivable sur \left] 0 ; +\infty \right[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur \left] 0 ; +\infty \right[.
On remarque que f = \dfrac{u}{v} avec, pour tout x appartenant à \left] 0 ; +\infty \right[ :
u\left(x\right) = \ln\left(x^2+2x\right). et v\left(x\right) = \ln\left(x\right)
On en déduit que : f ' = \dfrac{u'v -uv'}{v^2} avec, pour tout x appartenant à \left] 0 ; +\infty \right[ :
u'\left(x\right)= \dfrac{2x+2}{x^2+2x} et v'\left(x\right) = \dfrac{1}{x}
On en conclut que, \forall x \in \left] 0; +\infty \right[ :
f '\left(x\right) =\dfrac{\dfrac{2x+2}{x^2+2x} \times lnx - \ln\left(x^2+2x\right)\times \dfrac{1}{x}}{\left(lnx\right)^2}
Soit :
\forall x \in \left] 0 ; +\infty \right[, f '\left(x\right) =\dfrac{\left(2x+2\right)lnx-\left(x+2\right)\ln\left(x^2+2x\right)}{\left(x^2+2x\right)\left(lnx\right)^2}
Quelle est l'expression dérivée de la fonction définie sur \left]-1 ; +\infty \right[ par f\left(x\right) = \left(x^2-1\right)\ln\left(x+1\right) ?
Quelle est l'expression dérivée de la fonction définie sur \left]0 ; +\infty \right[ par f\left(x\right) = \dfrac{x}{lnx} ?
Quelle est l'expression dérivée de la fonction définie sur \left]0 ; +\infty \right[ par f\left(x\right) = \dfrac{x}{lnx} ?
Quelle est l'expression dérivée de la fonction définie sur \left]-3 ; +\infty \right[ par f\left(x\right) = \sqrt{x+3}\ln\left(x+3\right) ?
Quelle est l'expression dérivée de la fonction définie sur \left]0 ; +\infty \right[ par f\left(x\right) = \left(lnx+4\right)^4 ?