Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x}{e^{-x+5}}
On sait que \lim\limits_{x \to -\infty} x = -\infty
On sait aussi que \lim\limits_{x \to -\infty} -x+5 = +\infty
Or \lim\limits_{X \to +\infty} e^{X} = +\infty
Donc par composée \lim\limits_{x \to -\infty} e^{-x+5} = +\infty
Donc le quotient présente une indétermination de la forme \dfrac{\infty}{\infty}.
Pour lever cette indétermination on doit retrouver la forme : x^ne^x
- On applique la formule \dfrac{1}{e^a} = e^{-a}
- Donc \dfrac {x}{e^{-x+5}} = xe^{x-5} = xe^x\times e^{-5}
Or d'après le cours on sait que, pour tout entier naturel n :
\lim\limits_{x \to -\infty} x^ne^x =0
Ici on a n = 1, d'où \lim\limits_{x \to -\infty} xe^x =0.
De plus, \lim\limits_{x \to +\infty} e^{-5} = e^{-5}.
Or la fonction exponentielle est positive sur \mathbb{R} donc e^{-7} \gt 0 .
Donc par produit, \lim\limits_{x \to -\infty} xe^x\times e^{-5} =0
\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x}{e^{-x+5}} =0
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to -\infty} x^3e^x
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac {e^{x}}{x^5}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac {e^{x-2}}{x}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to -\infty} 3xe^{3x}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac {1}{xe^{-x}}