Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln \dfrac{1}{x}}{ x-1}
Faire apparaître un taux d'accroissement
On cherche à reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction dont on connaît la dérivée.
On pose, pour tout x\in \left]0 ; +\infty \right[, f\left(x\right) = \ln \left(\dfrac{1}{x}\right).
On remarque que f\left(1\right)=\ln \left(\dfrac{1}{1}\right).
Par conséquent, le taux d'accroissement de f en 1 vaut T_1\left(x\right)=\dfrac{\ln \left(\dfrac{1}{x}\right) - \ln1}{x-1}.
Or f est dérivable sur x\in \left]0 ; +\infty \right[, donc on sait que \lim\limits_{x \to 1}T_1\left(x\right)=f'\left(1\right).
Calculer la limite
Or, pour tout x\in \left]0 ; +\infty \right[, f\left(x\right) = \ln \left(\dfrac{1}{x}\right).
Donc pour tout x\in \left]0 ; +\infty \right[, f'\left(x\right) = \dfrac{-\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{1}{x}}= -\dfrac{1}{x}.
On a donc f'\left(1\right) = -\dfrac{1}{1} = -1.
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln \dfrac{1}{x}}{ x-1} =-1
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\ln\left(x+1\right)-ln5}{x-4}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\ln\left(x-4\right)}{x-5}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\ln\left(x-1\right)-\ln\left(3\right)}{x-4}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\ln\left(lnx\right)-\ln\left(ln2\right)}{x-2}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\ln\left(\sqrt{x}\right)-\ln\left(\sqrt{2}\right)}{x-2}