Quelle est la solution de l'équation suivante ?
\ln \dfrac{x+2}{x-1} =2
Domaine de définition de l'équation
L'équation est définie si et seulement si \dfrac{x+2}{x-1} \gt 0 et x-1 \neq 0.
On étudie le signe du quotient. En distinguant numérateur et dénominateur, on a :
\begin{cases} x+2 \gt 0 \cr \cr x-1 \gt 0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x \gt - 2 \cr \cr x \gt 1 \end{cases}
On peut ainsi dresser le tableau de signes (qui intègre également la condition x-1\neq0 ) :

Donc l'équation est définie sur \left] -\infty ; -2 \right[ \cup \left] 1 ; +\infty \right[ .
Résolution de l'équation
\ln \dfrac{x+2}{x-1} =2
\Leftrightarrow \dfrac{x+2}{x-1} =e^2
\Leftrightarrow x+2 =e^2\left(x-1\right)
\Leftrightarrow x-e^2x=-2-e^2
\Leftrightarrow x\left(1-e^2\right)=-2-e^2
\Leftrightarrow x=\dfrac{-2-e^2}{1-e^2}
\Leftrightarrow x=\dfrac{2+e^2}{e^2-1}
Compatibilité avec le domaine de définition
L'équation est définie sur \left] -\infty ; -2 \right[ \cup \left] 1 ; +\infty \right[ .
\dfrac{2+e^2}{e^2-1} \approx 1{,}47
Donc \dfrac{2+e^2}{e^2-1} \in\left] -\infty ; -2 \right[ \cup \left] 1 ; +\infty \right[.
S=\left\{\dfrac{2+e^2}{e^2-1} \right\}
Quelle est la solution dans \left] -1 ; +\infty \right[ de l'équation suivante ?
\ln \left(1+x\right) = 2
Quelle est la solution dans \left] -\dfrac{3}{2} ; +\infty \right[ de l'équation suivante ?
\ln \left(3x+4\right) = 2
Quelle est la solution dans \mathbb{R} de l'équation suivante ?
\ln \left(x^2+1\right) = 3
Quelle est la solution dans \mathbb{R}-\left\{ 1 \right\} de l'équation suivante ?
\ln \left(x^2-2x+1\right) = 4
Quelle est la solution dans \left]-\infty ; -1\right[ \cup \left]0; +\infty \right[ de l'équation suivante ?
\ln \left(\sqrt{x^2+x}\right) = 1