Quelle est la solution de l'équation suivante ?

\ln \left(\dfrac{3x+1}{x+2}\right) = \ln 4

S=\left\{ -7 \right\}

S=\left\{ 1 \right\}

S=\left\{ 7 \right\}

S=\left\{ 9 \right\}

Etape 1

Domaine de définition de l'équation

L'équation est définie si et seulement si \dfrac{3x+1}{x+2} \gt 0 et x+2 \neq 0

On étudie le signe du quotient. En distinguant numérateur et dénominateur, on a :
\begin{cases} 3x+1 \gt 0 \cr \cr x+2 \gt 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \begin{cases} x \gt - \dfrac{1}{3} \cr \cr x \gt-2 \end{cases}

On peut ainsi dresser le tableau de signes (qui intègre également la condition 2-x\neq0 ) :

Donc Df = \left] -\infty ; -2 \right[ \cup \left]-\dfrac{1}{3} ; +\infty\right[

Etape 2

Résolution de l'équation

\ln \left(\dfrac{3x+1}{x+2}\right) = \ln 4
\Leftrightarrow \dfrac{3x+1}{x+2} = 4

\Leftrightarrow 3x+1 = 4\times \left(x+2\right)

\Leftrightarrow 3x-4x = 8-1

\Leftrightarrow x = -7

Etape 3

Compatibilité avec le domaine de définition

L'équation est définie sur \left] -\infty ; -2 \right[ \cup \left]-\dfrac{1}{3} ; +\infty\right[.

-7 \in \left] -\infty ; -2 \right[ \cup \left]-\dfrac{1}{3} ; +\infty\right[

S=\left\{ -7 \right\}

Quelle est la solution dans \left] -\dfrac{2}{3} ; +\infty \right[ de l'équation suivante ?

\ln\left(2x+3\right) = \ln \left(3x+2\right)

S = \left\{ -\dfrac{2}{3} \right\}

S = \left\{ \dfrac{3}{2} \right\}

S = \left\{ 0 \right\}

S = \left\{ 1 \right\}

Quelle est la solution dans \left] -\dfrac{3}{2} ; +\infty \right[ de l'équation suivante ?

\ln \left(3x+4\right) = \ln\left(2x+3\right)

S = \left\{ -1 \right\}

S = \left\{ \dfrac{3}{2} \right\}

S = \left\{ 0 \right\}

S = \left\{ 1 \right\}

Quelle est la solution dans \left] \dfrac{-5+\sqrt{29}}{2} ; +\infty \right[ de l'équation suivante ?

\ln \left(x^2+5x-1\right) = \ln\left(x+4\right)

S = \left\{ \dfrac{-5+\sqrt{29}}{2} \right\}

S = \left\{ \dfrac{-5-\sqrt{29}}{2} \right\}

S = \left\{ 0\right\}

S = \left\{ 1 \right\}

Quelle est la solution dans \left]-\infty ; -1\right[ \cup \left]1 ; +\infty \right[ de l'équation suivante ?

\ln \left(\dfrac{x-1}{x+1}\right) = \text{ln}3

S = \left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}

S = \left\{ 2 \right\}

S = \left\{ -2 \right\}

S = \left\{ 1 \right\}

Quelle est la solution dans \left]-\infty ; -1\right[ \cup \left]1 ; +\infty \right[ de l'équation suivante ?

\ln \left(\dfrac{x^2+2x-3}{x+1}\right) = \text{ln}7

S = \left\{ \dfrac{5}{2} -\sqrt{65}; \dfrac{5}{2} +\sqrt{65} \right\}

S = \left\{ \dfrac{5-\sqrt{65}}{2} ; \dfrac{5+\sqrt{65} }{2} \right\}

S = \left\{ \dfrac{-5-\sqrt{65}}{2} ; \dfrac{-5+\sqrt{65} }{2} \right\}

S = \left\{ \dfrac{5-\sqrt{65}}{2} \right\}