Quelle est la solution de l'inéquation suivante dans \mathbb{R} ?
e^{3x^2 + 2x -1 }\lt4
e^{3x^2 + 2x -1 }\lt4
\Leftrightarrow \ln\left(e^{3x^2 + 2x -1 }\right) \lt \ln 4
Sachant que la fonction logarithme est strictement croissante sur \mathbb{R}^+.
\ln\left(e^{3x^2 + 2x -1 }\right) \lt \ln 4
\Leftrightarrow 3x^2 + 2x -1 \lt \ln 4
\Leftrightarrow 3x^2 + 2x -1-\ln4 \lt 0
On détermine le discriminant de cette équation du second degré.
\Delta = b^2-4ac = 2^2-4\times 3 \times \left(-1 -\ln4\right) = 4 + 12 \left(1+\ln 4\right) = 16 + 12\ln4 =16 + 24\ln2 .
\Delta \gt 0 donc le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de -a à l'intérieur des racines. On calcule les racines, on obtient :
- x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 -\sqrt{16+24\ln2}}{6} = \dfrac{- 1-\sqrt{4+6\ln2}}{3}
- x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 +\sqrt{16+24\ln2}}{6} = \dfrac{- 1+\sqrt{4+6\ln2}}{3}
Donc 3x^2 + 2x -1-\ln4 \lt 0 sur \left] \dfrac{-1-\sqrt{4+6\ln2}}{3} ; \dfrac{-1+\sqrt{4+6\ln2}}{3} \right[
S= \left] \dfrac{-1-\sqrt{4+6\ln2}}{3} ; \dfrac{-1+\sqrt{4+6\ln2}}{3} \right[
Quelles sont les solutions de l'inéquation e^{-4x}\lt4 sur \mathbb{R} ?
Quelles sont les solutions de l'inéquation e^{-2x}\gt3 sur \mathbb{R} ?
Quelles sont les solutions de l'inéquation e^{4x}\gt6 sur \mathbb{R} ?
Quelles sont les solutions de l'inéquation e^{2x^2}\gt4 sur \mathbb{R} ?
Quelles sont les solutions de l'inéquation e^{x^2+3x+12}\gt8 sur \mathbb{R} ?