Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?
\ln \left(\dfrac{x+1}{x-2}\right) \lt 1
Domaine de définition
L'inéquation existe si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées :
\begin{cases} \dfrac{x+1}{x-2} \gt 0 \cr \cr x-2 \neq0 \end{cases}
On étudie séparément le signe du dénominateur et du numérateur :
\begin{cases} x+1 \gt 0 \cr \cr x-2 \gt 0 \end{cases}
\begin{cases} x \gt -1 \cr \cr x \gt 2 \end{cases}
On peut ainsi dresser le tableau de signes du quotient (qui intègre la conditon x-2 \neq 0 ) :
L'inéquation est définie sur : \left] - \infty ; -1\right[ \cup \left] 2; + \infty \right[.
Résolution de l'inéquation
\ln \left(\dfrac{x+1}{x-2}\right) \lt 1
\Leftrightarrow e^{\ln \left(\frac{x+1}{x-2}\right)} \lt e^1
\Leftrightarrow \dfrac{x+1}{x-2} \lt e^1
\Leftrightarrow \dfrac{x+1}{x-2} -\dfrac{e^1\left(x-2\right)}{x-2}\lt 0
\Leftrightarrow \dfrac{x\left(1-e^1\right)+1+2e^1}{x-2}\lt 0
On étudie séparément le signe du dénominateur et du numérateur :
\begin{cases} x\left(1-e^1\right)+1+2e^1 \gt0 \cr \cr x-2 \gt 0 \end{cases}
\begin{cases} x\left(1-e^1\right) \gt -1-2e^1\cr \cr x \gt 2 \end{cases}
\begin{cases} x \lt \dfrac{1+2e^1}{e^1-1}\cr \cr x \gt 2 \end{cases}
On peut ainsi dresser le tableau de signes du quotient :
Donc \ln \left(\dfrac{x+1}{x-2}\right) \lt 1 sur \left] -\infty ; 2 \right[ \cup \left] \dfrac{1+2e^1}{e^1-1} ; +\infty \right[
Compatibilité avec l'ensemble de définition
L'inéquation est définie sur \left] - \infty ; -1\right[ \cup \left] 2; + \infty \right[.
Or \dfrac{1+2e^1}{e^1-1} \approx 3{,}75
Donc \dfrac{1+2e^1}{e^1-1}\in \left]2 ; +\infty \right[.
S = \left] -\infty ; -1 \right[ \cup \left] \dfrac{1+2e^1}{e^1-1}; +\infty \right[
Quelle est la solution de l'inéquation suivante sur \left]-\infty ; -\dfrac{5}{2} \right[ ?
\ln \left(-2x-5\right) \gt 2
Quelle est la solution de l'inéquation suivante sur \mathbb{R} ?
\ln \left(x^2+12\right) \lt 2
Quelle est la solution de l'inéquation suivante sur \left]\dfrac{1}{3} ; +\infty \right[ ?
\ln \left(\sqrt{3x-1}\right) \lt 3
Quelle est la solution de l'inéquation suivante sur \mathbb{R} ?
\ln \left(2x^2+3\right) \gt 7
Quelle est la solution de l'inéquation suivante sur \mathbb{R} ?
\ln \left(x^2+3x+7\right) \gt \dfrac{1}{2}