Quelle est la solution de l'inéquation suivante ?
\text{ln}\dfrac {x+2}{x+1} \gt \text{ln}4
Domaine de définition de l'inéquation
L'équation est définie si et seulement si \dfrac{x+2}{x+1} \gt 0 et x+1 \neq 0
On étudie le signe du quotient. En distinguant numérateur et dénominateur, on a :
\begin{cases} x+2 \gt 0 \cr \cr x+1 \gt 0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x \gt - 2 \cr \cr x \gt-1 \end{cases}
On peut ainsi dresser le tableau de signes (qui intègre également la condition x+1\neq0 ) :
Donc Df = \left] -\infty ; -2 \right[ \cup \left]-1 ; +\infty\right[
Résolution de l'inéquation
ln\dfrac {x+2}{x+1} \gt ln4
\Leftrightarrow \dfrac {x+2}{x+1} \gt 4
\Leftrightarrow \dfrac {x+2-4x-4}{x+1} \gt 0
\Leftrightarrow \dfrac {-3x-2}{x+1} \gt 0
On étudie le signe du quotient. En distinguant le numérateur et le dénominateur :
\begin{cases} -3x-2 \gt 0 \cr \cr x+1 \gt 0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x \lt -\dfrac{2}{3} \cr \cr x \gt -1 \end{cases}
On peut ainsi dresser le tableau de signes :
Donc \dfrac {-3x-2}{x+1} \gt 0 sur \left]-1 ; -\dfrac{2}{3} \right[
Compatibilité avec le domaine de définition
L'équation est définie sur Df = \left] -\infty ; -2 \right[ \cup \left]-1 ; +\infty\right[.
S = \left] -1 ; -\dfrac{2}{3}\right[
Quelle est la solution dans \mathbb{R}\backslash\left\{ -1 \right\} de l'inéquation suivante ?
\ln \left(x^2+2x+1\right) \gt \ln\left(x^2+2\right)
Quelle est la solution dans \left]-\dfrac{1}{2} ; +\infty \right[ de l'inéquation suivante ?
\ln \left(2x+1\right) \gt \ln\left(x+17\right)
Quelle est la solution dans \left]-1 ; +\infty \right[ de l'inéquation suivante ?
\ln \left(2x+5\right) \gt 2\ln\left(x+1\right)
Quelle est la solution dans \left]0; 3\right[ de l'inéquation suivante ?
\ln \left(-x+3\right)+ \ln \left(2x\right) \lt 2\ln\left(3x+5\right)
Quelle est la solution dans \left]-\infty; \dfrac{3}{2}\right[ de l'inéquation suivante ?
\ln \left(\dfrac{7-x}{3-2x}\right) \lt \ln\left(4-x\right)