Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x}-x^2}{e^{x}+x}
On remarque que, pour tout réel x :
\dfrac{e^{2x}-x^2}{e^{x}+x} = \dfrac{\left(e^{x}\right)^2-x^2}{e^{x}+x} =\dfrac{\left(e^{x}-x\right)\left(e^x+x\right)}{e^{x}+x} =e^x-x=e^x\left(1- \dfrac{x}{e^x} \right)
Par croissances comparées, on a :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x}= 0
Donc :
\lim\limits_{x \to +\infty} 1 - \dfrac{x}{e^x}= 1
De plus :
\lim\limits_{x \to +\infty} e^x= +\infty
Ainsi, par produit, on a :
\lim\limits_{x \to +\infty} e^x\left(1- \dfrac{x}{e^x} \right)= +\infty
Et finalement :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^{2x}-x^2}{e^{x}+x}= +\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} xe^{-2x}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to -\infty} \left(x+1\right)e^{x-3}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2-1}{e^{2x+1}}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1+2x^2+3x^7-x^9}{e^{x}}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x+e^{x-3}}{x+e^{x}}