On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=2n^2-\sqrt{4n^4+2}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On est devant une forme indéterminée du type \infty-\infty.
Afin de lever cette indétermination, on transforme l'expression de u_n en utilisant la quantité conjuguée.
Transformation de l'expression
u_n=2n^2-\sqrt{4n^4+2}
u_n=\dfrac{\left(2n^2-\sqrt{4n^4+2}\right)\left(2n^2+\sqrt{4n^4+2}\right)}{2n^2+\sqrt{4n^4+2}}
Et, en reconnaissant l'identité remarquable \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2, on obtient :
u_n=\dfrac{4n^4-4n^4-2}{2n^2+\sqrt{4n^4+2}}
u_n=\dfrac{-2}{2n^2+\sqrt{4n^4+2}}
Détermination de la limite
- \lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{4n^4+2}=+\infty
- \lim\limits_{n \to +\infty}2n^2=+\infty
Par somme, on a \lim\limits_{n \to +\infty}2n^2+\sqrt{4n^4+2}=+\infty
Or \lim\limits_{N \to +\infty}\dfrac{1}{N}=0
Ainsi, par composée :
\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{2n^2+\sqrt{4n^4+2}}=0
Finalement :
\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{-2}{2n^2+\sqrt{4n^4+2}}=0
\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=0
On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=\sqrt{4n^2+1}-2n
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n^4+5}-n^2}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=\dfrac{1}{\sqrt{4n^4+5}-2n^2}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=\sqrt{9n^2+6}-3n
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?
On considère la suite définie par :
\forall n \in\mathbb{N} , u_n=\sqrt{n^6+1}-n^3
Quelle est la valeur de \lim\limits_{n \to +\infty}u_n ?