Soit la suite numérique \left(u_n\right) définie sur \mathbb{N} par \begin{cases} u_0=2\\ u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_{n}+\dfrac{1}{3}{n+1}, \forall n\in\mathbb{N} \end{cases}.

Quelles sont les valeurs de u_1, u_2, u_3 et u_4 ?

u_{1}=2{,}3\\u_{2}=2{,}9\\u_{3}=3{,}6\\u_{4}=4{,}4

u_{1}=1{,}67\\u_{2}=1{,}78\\u_{3}=2{,}19\\u_{4}=2{,}79

u_{1}=2\\u_{2}=2{,}33\\u_{3}=2{,}89\\u_{4}=3{,}59

u_{1}=2{,}33\\u_{2}=2{,}89\\u_{3}=3{,}59\\u_{4}=4{,}4

u_1=\cfrac{2}{3}u_0+\cfrac{1}{3}\times 0+1=\cfrac{2}{3}\times 2+1=\cfrac{7}{3}\approx 2{,}33

u_2=\cfrac{2}{3}u_1+\cfrac{1}{3}\times 1+1=\cfrac{2}{3}\times \cfrac{7}{3}+\cfrac{1}{3}+1=\cfrac{17}{9}+1=\cfrac{26}{9}\approx 2{,}89

u_3=\cfrac{2}{3}u_2+\cfrac{1}{3}\times 2+1=\cfrac{97}{27}\approx 3{,}59

u_4=\cfrac{2}{3}u_3+\cfrac{1}{3}\times 3+1=\cfrac{356}{81}\approx 4{,}4

À 10^{-2} près, on a :

u_1\approx 2{,}33\\u_2\approx 2{,}89\\u_3\approx 3{,}59\\u_4\approx 4{,}4

Dans quelle proposition a-t-on formulé une conjecture sur le sens de variation de cette suite ?

La suite \left( u_{n} \right) semble constante.

La suite \left( u_{n} \right) semble ni croissante ni décroissante.

La suite \left( u_{n} \right) semble croissante.

La suite \left( u_{n} \right) semble décroissante.

D'après la question précédente, on constate que :

u_0 \leq u_1 \leq u_2 \leq u_3 \leq u_4

La suite \left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} semble donc être croissante.

Quelle proposition démontre que pour tout entier naturel n, u_{n} \leqslant n+3 ?

On raisonne par récurrence :

1) Initialisation : u_0\leqslant0+3.

2) Hérédité : On suppose que pour tout k\in\mathbb{N}, u_k\leqslant k+3.En utilisant le fait que u_{k+1}=\dfrac{2}{3}u_k+\dfrac{1}{3}k+1, on montre qu'alors u_{k+1}\leqslant k+4.

3) Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

u_0\leqslant0+3

De plus, grâce à la question 1, on sait qu'on a également u_1\leqslant1+3, u_2\leqslant2+3, u_3\leqslant3+3 et u_4\leqslant4+3.

Donc pour tout n \in \mathbb{N}, u_n\leqslant n+3.

Pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1, et donc 3u_{n+1}-2u_n=n+3.

Or la suite est croissante, donc u_n\leqslant u_{n+1}, d'où n+3\geqslant 3u_n-2u_n=u_n.

Ainsi, pour tout n\in\mathbb{N}, u_n\leqslant n+3.

On raisonne par récurrence :

1) Initialisation : u_0\leqslant0+3.

2) Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, on suppose u_k\leqslant k+3. En utilisant le fait que u_{k+1}=\dfrac{2}{3}u_k+\dfrac{1}{3}k+1, on montre qu'alors u_{k+1}\leqslant k+4.

3) Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n\leq n+3.

On note P_n, la propriété : u_n\leq n+3.

Initialisation :

Pour n=0, on a d'après l'énoncé :

u_0=2 et 0+3=3

Or, 2\leq 3 donc : u_{0}\leq 3

La propriété P_n est vraie pour n=0. P_0 est donc vraie.

Hérédité :

Supposons que pour un entier k\geq0 fixé, la propriété P_k est vraie. Montrons alors que la propriété P_{k+1} est vraie.

On a par hypothèse de récurrence :

u_k\leq k+3.

On multiplie par \cfrac{2}{3} \gt 0, on obtient :

\cfrac{2}{3}u_k\leq \cfrac{2}{3}\left(k+3\right), On ajoute un même nombre au deux membres de l'inégalité, on obtient :

\cfrac{2}{3}u_k+\cfrac{1}{3}k+1\leq \cfrac{2}{3}\left(k+3\right)+\cfrac{1}{3}k+1

Soit :

u_{k+1}\leq \cfrac{2}{3}k+3+\cfrac{1}{3}k

Soit :

u_{k+1}\leq k+3

Or, pour tout entier naturel k, k+3\leq k+4.

Donc :

u_{k+1}\leq k+3\leq k+4

Donc :

u_{k+1}\leq k+4,

La propriété P_{k+1} est alors vérifiée.

Conclusion :

P_0 est vraie.
Pour tout k\geq 0, P_k \text{ vraie }\Rightarrow P_{k+1}\text{ vraie }.

On a donc montré par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : u_n \leq n+3.

Quelle proposition démontre que pour tout entier naturel n, u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{1}{3}\left({n+3-u_{n}}\right) ?

Soit n\in\mathbb{N}, comme u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1 par définition de la suite, on a u_{n+1}= \dfrac{1}{3}\left({n+3-u_{n}}\right)+ u_{n}, donc u_{n+1}-u_n= \dfrac{1}{3}\left({n+3-u_{n}}\right), et la propriété est vraie.

Soit n\in\mathbb{N}, on suppose u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{1}{3}\left({n+3-u_{n}}\right).

Alors u_{n+1}= \dfrac{1}{3}\left({n+3-u_{n}}\right)+ u_{n} =\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{1}{3}n+1, ce qui est vrai par définition de la suite, donc la propriété est vraie.

On raisonne par récurrence :

1) Initialisation : u_1-u_0=\dfrac{7}{3}-2=\dfrac{1}{3} et \dfrac{1}{3}\left(u_0+0+3\right)=\dfrac{1}{3}, donc la propriété est vraie au rang 0.

.2) Hérédité : Soit k\in\mathbb{N}, on suppose u_{k+1} - u_{k} = \dfrac{1}{3}\left({k+3-u_{k}}\right).

Alors u_{k+1}= \dfrac{1}{3}\left({k+3-u_{k}}\right)+ u_{k} =\dfrac{2}{3}u_k+\dfrac{1}{3}k+1, donc la propriété est héréditaire.

3) Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

On raisonne par récurrence :

1) Initialisation : u_1-u_0=\dfrac{7}{3}-2=\dfrac{1}{3} et \dfrac{1}{3}\left(u_0+0+3\right)=\dfrac{1}{3}, donc la propriété est vraie au rang 0.

.2) Hérédité : On suppose que pour tout k\in\mathbb{N}, u_{k+1} - u_{k} = \dfrac{1}{3}\left({k+3-u_{k}}\right).

Alors u_{k+1}= \dfrac{1}{3}\left({k+3-u_{k}}\right)+ u_{k} =\dfrac{2}{3}u_k+\dfrac{1}{3}k+1, donc la propriété est héréditaire.

3) Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n\in\mathbb{N}.

Pour tout entier naturel n,

u_{n+1}-u_n=\cfrac{2}{3}u_n+\cfrac{1}{3}n+1-u_n\\u_{n+1}-u_n=-\cfrac{1}{3}u_n+\cfrac{1}{3}n+1\\u_{n+1}-u_n=\cfrac{1}{3}\left(-u_n+n+3\right)\\

On a donc bien montré que pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_n=\cfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right).

Dans quelle proposition a-t-on déduit une validation de la conjecture précédente ?

On a montré que pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n=\cfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right) et u_n\leqslant n+3, donc pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n=0, et on peut valider que la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est constante.

On a montré que pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n=\cfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right) et u_n\leqslant n+3, donc pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n\leqslant0, et on peut valider que la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est décroissante.

On a montré que pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n=\cfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right) et u_n\leqslant n+3, donc pour tout n\in\mathbb{N}, u_{n+1}-u_n\geqslant0, et on peut valider que la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est croissante.

On doit à présent valider la conjecture émise à la question 2.

D'après la question précédente, on a montré que pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_n=\cfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right)

Or, d'après la question 2.a), on sait que pour tout entier naturel n, u_n\leq n+3

Donc pour tout entier naturel n, -\cfrac{1}{3}u_n\geq -\cfrac{1}{3}\left(n+3\right).

Donc pour tout entier naturel n :

\cfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right)\geq\cfrac{1}{3}\left(n+3\right)-\cfrac{1}{3}\left(n+3\right)

Or, \cfrac{1}{3}\left(n+3\right)-\cfrac{1}{3}\left(n+3\right)=0 et u_{n+1}-u_n=\cfrac{1}{3}\left(n+3-u_n\right)

Donc, pour tout entier naturel n,

u_{n+1}-u_n\geq 0 par définition d'une suite croissant, \left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est donc croissante.

On a donc validé la conjecture. La suite \left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est donc bien croissante.

On désigne par \left(v_n\right) la suite définie sur \mathbb{N} par v_n = u_n -n.

Quelle proposition démontre que la suite \left(v_n\right) est une suite géométrique de raison \dfrac{2}{3} ?

On étudie la différence v_{n+1}-v_{n} à l'aide de l'écriture de u_{n+1} en fonction de u_{n}.

On exprime le terme v_{n+1} en fonction de v_{n} à l'aide de l'écriture de u_{n+1} en fonction de u_{n}.

On étudie le rapport \dfrac{v_{n+1}}{v_{n}}, à l'aide de l'écriture de u_{n+1} en fonction de u_{n}.

On exprime le terme v_{n+1} en fonction de u_{n} à l'aide de l'écriture de u_{n+1} en fonction de u_{n}.

Soit \left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}} une suite définie par v_n=u_n-n.

On a pour tout entier naturel n,

v_{n+1}=u_{n+1}-\left(n+1\right)=\cfrac{2}{3}u_n+\cfrac{1}{3}n+1-n-1\\v_{n+1}=\cfrac{2}{3}u_n-\cfrac{2}{3}n\\v_{n+1}=\cfrac{2}{3}\left(u_n-n\right)

Or, pour tout entier naturel n, v_n=u_n-n.

Donc :

v_{n+1}=\cfrac{2}{3}v_n

La suite \left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est donc bien une suite géométrique de raison \cfrac{2}{3} et de premier terme v_0=u_0-0=2.

Dans quelle proposition a-t-on déduit que pour tout entier naturel n, u_n = 2 \left(\dfrac{2}{3}\right)^n +n ?

On utilise le fait que la suite \left( u_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est géométrique et que u_{n} = v_{n}+n pour tout entier naturel n.

On utilise le fait que la suite \left( v_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est géométrique et que u_{n} = v_{n}+n pour tout entier naturel n.

On utilise le fait que la suite \left( v_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est géométrique et que v_{n} = u_{n}\times n pour tout entier naturel n.

On utilise le fait que la suite \left( v_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}} est géométrique et que v_{n} = u_{n}+n pour tout entier naturel n.

D'après la question précédente, on peut déduire une formule explicite pour la suite \left(v_n\right)_{n\in\mathbb{N}}.

v_n=v_0\times q^n=2\times \left(\cfrac{2}{3}\right)^n

De plus, on sait que pour tout entier naturel n, v_n=u_n-n,

Donc :

u_n=v_n+n

Donc :

u_n=2\times \left(\cfrac{2}{3}\right)^n+n

On a donc montré que pour tout entier naturel n, u_n=2\times \left(\cfrac{2}{3}\right)^n+n.

Quelle est la limite de la suite \left(u_n\right) ?

\lim\limits_{n \to +\infty}u_{n}=2

\lim\limits_{n \to +\infty}u_{n}=\dfrac{2}{3}

\lim\limits_{n \to +\infty}u_{n}=0

\lim\limits_{n \to +\infty}u_{n}=+\infty

On a pour tout entier naturel n, u_n=2\left(\cfrac{2}{3}\right)^n+n.

Or -1 \lt \cfrac{2}{3} \lt 1, donc d'après le cours :

\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\cfrac{2}{3}\right)^n=0

Et \lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty

Donc, par somme :

\lim\limits_{n \to +\infty}u_n= \lim\limits_{n \to +\infty} 2\left(\cfrac{2}{3}\right)^n+n=+\infty

\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty, la suite \left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est donc une suite divergente.

Pour tout entier naturel non nul n, on pose :

S_n = \sum_{k=0}^{n}u_k = u_0 + u_1 + ... + u_n et T_n = \dfrac{S_n}{n^{2}}.

Quelle est l'expression de S_n en fonction de n ?

S_{n}=6\left( 1-\left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1} \right)+\dfrac{n\left(n + 1\right)}{2}

S_{n}=3\left( 1 -\left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1} \right)+\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}

S_{n}=6\left( 1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n} \right)+\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}

S_{n}=3\left( 1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n} \right)+\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}

D'après le cours, on sait calculer la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q\neq 1.

De plus, on rappelle que pour tout entier naturel n, \sum_{k=0}^{n}k=\cfrac{n\left(n+1\right)}{2} ( ce résultat se démontre par récurrence, ou en écrivant cette somme de deux manières différentes.)

On obtient donc pour tout entier naturel n :

S_n = \sum_{k=0}^{n}u_k = \sum_{k=0}^{n}\left(2\left(\cfrac{2}{3}\right)^k+k\right) =2 \sum_{k=0}^{n}\left(\cfrac{2}{3}\right)^k+\sum_{k=0}^{n}k=2\times \cfrac{1-q^{n+1}}{1-q}+\sum_{k=0}^n k=2\times \cfrac{1-\cfrac{2}{3}^{n+1}}{1-\cfrac{2}{3}}+\cfrac{n\left(n+1\right)}{2}

Donc :

S_n=6\left(1-\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)+\cfrac{n\left(n+1\right)}{2}

Pour tout entier naturel n, on a : S_n=6\left(1-\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)+\cfrac{n\left(n+1\right)}{2}.

Quelle est la limite de la suite \left(T_n\right) ?

\lim\limits_{n \to +\infty}T_{n}=+\infty

\lim\limits_{n \to +\infty}T_{n}=\dfrac{1}{2}

\lim\limits_{n \to +\infty}T_{n}=0

\lim\limits_{n \to +\infty}T_{n}=-\infty

Soit \left(T_n\right)_{n\in\mathbb{N^*}} une suite telle que T_n=\cfrac{S_n}{n^2}

On a donc pour tout entier naturel n non nul,

T_n=\cfrac{S_n}{n^2}\\T_n=\cfrac{6\left(1-\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)+\cfrac{n\left(n+1\right)}{2}}{n^2}

T_n=\cfrac{6\left(1-\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)}{n^2}+\cfrac{\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}}{n^2}

T_n=\cfrac{6\left(1-\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)}{n^2}+\dfrac{n^2+n}{2n^2}

T_n=\cfrac{6\left(1-\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)}{n^2}+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2n}

On sait que \lim\limits_{n \to +\infty}\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n+1}=0 car -1 \lt \cfrac{2}{3} \lt 1

Donc:

\lim\limits_{n \to +\infty}6\left(1-\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)=6

De plus, \lim\limits_{n\to +\infty} n^2=+\infty.

Donc, par quotient :

\lim\limits_{n \to +\infty}\cfrac{6\left(1-\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)}{n^2}=0

De plus :

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2n}\right)=\cfrac{1}{2} car \lim\limits_{n \to +\infty}\cfrac{1}{2n}=0

On en déduit donc que :

\lim\limits_{n \to +\infty}\left[\cfrac{6\left(1-\left(\cfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right)}{n^2}+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2n}\right]=\cfrac{1}{2}

Donc :

\lim\limits_{n \to +\infty}T_n=\cfrac{1}{2}

La suite \left(T_n\right)_{n\in\mathbb{N^*}} converge donc vers \cfrac{1}{2}.