On lance trois fois de suite un dé à 6 faces non truqué.
On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de fois que le numéro 6 est sorti au cours de ces 3 lancers.
Quelle proposition montre que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres ?
L'expérience "lancer un dé" a deux issues possibles :
- Succès : on obtient le chiffre 6, obtenu avec la probabilité p=\dfrac{1}{6}
- Echec : on n'obtient pas le chiffre 6, obtenu avec la probabilité q=1-p=\dfrac{5}{6}
Cette expérience est répétée 3 fois de manière indépendante.
X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.
X est donc une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n=3 et p=\dfrac{1}{6}.
Quelle est la probabilité d'obtenir 2 fois le chiffre 6 exactement au cours des 3 lancers ?
On cherche à calculer p\left( X=2\right).
Or X suit la loi binomiale B\left(3;\dfrac{1}{6}\right), donc on a :
p\left( X=2\right)=\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}p^2q^{3-2}
p\left( X=2\right)=\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}p^2q^{1}
Et, comme \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 2 \end{pmatrix}=3, on a finalement :
p\left( X=2\right)=3\times\left(\dfrac{1}{6}\right)^2\left(\dfrac{5}{6}\right)
La probabilité d'obtenir exactement 2 fois le chiffre 6 vaut p\left( X=2\right)=3\times\left(\dfrac{1}{6}\right)^2\left(\dfrac{5}{6}\right).
Calculer la probabilité d'obtenir au moins un chiffre 6 au cours des 3 lancers.
On cherche à calculer p\left( X\geqslant1\right).
Or p\left( X\geqslant1\right)=1-p\left( X=0\right)
On calcule donc :
p\left( X=0\right)=\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 0 \end{pmatrix}p^0q^{3-0}
p\left( X=0\right)=\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 0 \end{pmatrix}p^0q^{3}
Et, comme \begin{pmatrix} 3 \cr\cr 0 \end{pmatrix}=1 et que \left( \dfrac{1}{6} \right)^0=1, on a finalement :
p\left( X=0\right)=\left(\dfrac{5}{6}\right)^{3}
On obtient donc :
p\left( X\geqslant1\right)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^{3}
La probabilité d'obtenir au moins un chiffre 6 vaut p\left( X\geqslant1\right)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^{3}.