Une usine produit des aspirateurs. On suppose que la probabilité qu'un aspirateur soit défectueux est égale à 0,015. On prélève au hasard un échantillon de 80 aspirateurs. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 80 aspirateurs. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 80 aspirateurs, associe le nombre d'aspirateurs défectueux.
On appelle X la variable aléatoire qui associe le nombre d'aspirateurs défectueux.
Quelle proposition montre que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres ?
L'expérience "tirer un aspirateur" a deux issues possibles :
- Succès : on obtient un aspirateur défectueux, obtenu avec la probabilité p=0{,}015
- Echec : on n'obtient pas d'aspirateur défectueux, obtenu avec la probabilité q=1-p=1-0{,}015=0{,}985
Cette expérience est répétée 80 fois de manière indépendante.
X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.
X est donc une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n=80 et p=0{,}015.
Quelle est la probabilité d'obtenir 2 aspirateurs exactement défectueux ?
On cherche à calculer p\left( X=2\right).
Or X suit la loi binomiale B\left(80;0{,}015\right), donc on a :
p\left( X=2\right)=\begin{pmatrix} 80 \cr\cr 2 \end{pmatrix}p^{2} q^{80-2}
p\left( X=2\right)=\begin{pmatrix} 80 \cr\cr 2 \end{pmatrix}p^{2} q^{78}
Et, comme \begin{pmatrix} 80 \cr\cr 2 \end{pmatrix}=3\ 160, on a finalement :
p\left( X=2\right)=3\ 160\times \left(0{,}015\right)^2\left(0{,}985\right)^{78}
La probabilité d'obtenir exactement 2 aspirateurs défectueux vaut p\left( X=2\right)=3\ 160\times \left(0{,}015\right)^2\left(0{,}985\right)^{78}.
Quelle est la probabilité d'obtenir au moins deux aspirateurs défectueux ?
On cherche à calculer p\left( X\geqslant2\right).
Or p\left( X\geqslant2\right)=1-\left(p\left( X=0\right)+p\left( X=1\right)\right)
- On calcule p\left(X=0\right) :
p\left( X=0\right)=\begin{pmatrix} 80 \cr\cr 0 \end{pmatrix}p^0q^{80-0}
p\left( X=0\right)=\begin{pmatrix} 80 \cr\cr 0 \end{pmatrix}0{,}015^0\left(0{,}985\right)^{80}
Et, comme \begin{pmatrix} 80 \cr\cr 0 \end{pmatrix}=1 et que \left( 0{,}015 \right)^0=1, on a finalement :
p\left( X=0\right)=\left(0{,}985\right)^{80}
- On calcule p\left(X=1\right) :
p\left( X=1\right)=\begin{pmatrix} 80 \cr\cr 1 \end{pmatrix}p^1q^{80-1}
p\left( X=1\right)=\begin{pmatrix} 80 \cr\cr 1 \end{pmatrix}0{,}015^1\left(0{,}985\right)^{79}
Et, comme \begin{pmatrix} 80 \cr\cr 1 \end{pmatrix}=80, on a finalement :
p\left( X=1\right)= 80\times0{,}015\left(0{,}985\right)^{79}
- On obtient donc :
p\left( X\geqslant2\right)=1-\left( 0{,}985^{80}+80\times0{,}015\left(0{,}985\right)^{79}\right)
La probabilité d'obtenir au moins 2 aspirateurs défectueux vaut p\left( X\geqslant2\right)=1-\left( 0{,}985^{80}+80\times0{,}015\left(0{,}985\right)^{79}\right).