Lors d'une épidémie chez les bovins, on constate que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur 25 animaux dont 2 % sont porteurs de la maladie.
On appelle X la variable aléatoire qui associe le nombre de bovins porteurs de la maladie.
Quelle proposition montre que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres ?
L'expérience "choisir un bovin" a deux issues possibles :
- Succès : le bovin est porteur de la maladie, obtenu avec la probabilité p=0{,}02
- Echec : le bovin n'est pas porteur de la maladie, obtenu avec la probabilité q=1-p=1-0{,}02=0{,}98
Cette expérience est répétée 25 fois de manière indépendante.
X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.
X est donc une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n=25 et p=0{,}02.
Quelle est la probabilité d'obtenir 3 bovins porteurs de la maladie ?
On cherche à calculer p\left( X=3\right).
Or X suit la loi binomiale B\left(25;0{,}02\right), donc on a :
p\left( X=3\right)=\begin{pmatrix} 25 \cr\cr 3 \end{pmatrix}p^{3} q^{25-3}
p\left( X=3\right)=\begin{pmatrix} 25 \cr\cr 3 \end{pmatrix}p^{3} q^{22}
Et, comme \begin{pmatrix} 25 \cr\cr 3 \end{pmatrix}=2\ 300, on a finalement :
p\left( X=3\right)=2\ 300\times 0{,}02^{3} \times\left(0{,}98\right)^{22}
La probabilité d'obtenir exactement 3 bovins malades vaut p\left( X=3\right)=2\ 300\times 0{,}02^{3} \times\left(0{,}98\right)^{22}.
Quelle est la probabilité d'obtenir au plus un bovin porteur de la maladie ?
On cherche à calculer p\left( X\leqslant1\right).
Or p\left( X\leqslant1\right)=p\left(X=0\right)+p\left(X=1\right)
- On calcule p\left(X=0\right)
p\left( X=0\right)=\begin{pmatrix} 25 \cr\cr 0 \end{pmatrix}p^0q^{25-0}
p\left( X=0\right)=\begin{pmatrix} 25 \cr\cr 0 \end{pmatrix}p^0q^{25}
Et, comme \begin{pmatrix} 25 \cr\cr 0 \end{pmatrix}=1 et que \left(0{,}02\right)^0=1, on a finalement :
p\left( X=0\right)=\left(0{,}98\right)^{25}
- On calcule p\left(X=1\right)
p\left( X=1\right)=\begin{pmatrix} 25 \cr\cr 1 \end{pmatrix}p^1q^{25-1}
p\left( X=1\right)=\begin{pmatrix} 25 \cr\cr 1 \end{pmatrix}p^1q^{24}
Et, comme \begin{pmatrix} 25 \cr\cr 1 \end{pmatrix}=25, on a finalement :
p\left( X=1\right)=25\times\left(0{,}02\right)\left(0{,}98\right)^{24}
p\left( X=1\right)=0{,}5\times\left(0{,}98\right)^{24}
- On obtient donc :
p\left( X\leqslant1\right)=\left(0{,}98\right)^{25}+0{,}5 \times\left(0{,}98\right)^{24}
La probabilité d'obtenir au plus un bovin porteur de la maladie vaut p\left(X\leqslant1\right)=\left(0{,}98\right)^{25}+0{,}5 \times\left(0{,}98\right)^{24}