Calculer des probabilités en introduisant une loi binomiale Exercice

L'expérience "tirer une boule" a deux issues possibles :

• Succès : la boule tirée est verte, obtenu avec la probabilité p=\dfrac{40}{200}=\dfrac{1}{5}=0{,}2
• Echec : la boule tirée n'est pas verte, obtenu avec la probabilité q=1-p=\dfrac{4}{5}=0{,}8

Cette expérience est répétée 20 fois de manière indépendante.

X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.

On cherche à calculer p\left( X=1\right).

Or X suit la loi binomiale B\left(20;0{,}2\right), donc on a :

p\left( X=1\right)=\begin{pmatrix} 20 \cr\cr 1 \end{pmatrix}p^{1} q^{20-1}

p\left( X=1\right)=\begin{pmatrix} 20 \cr\cr 1 \end{pmatrix}0{,}2 \times0{,}8^{19}

Et, comme \begin{pmatrix} 20 \cr\cr 1\end{pmatrix}=20, on a finalement :

p\left( X=1\right)=20\times 0{,}2 \times\left(0{,}8\right)^{19}

p\left( X=1\right)=4\times\left(0{,}8\right)^{19}

On cherche à calculer p\left( X\geqslant1\right).

Or p\left( X\geqslant1\right)=1-p\left( X=0\right)

On calcule donc :

p\left( X=0\right)=\begin{pmatrix} 20 \cr\cr 0 \end{pmatrix}p^0q^{20-0}

p\left( X=0\right)=\begin{pmatrix} 20 \cr\cr 0 \end{pmatrix}\left(0{,}2\right)^0\left(0{,}8\right)^{20}

Et, comme \begin{pmatrix} 20 \cr\cr 0 \end{pmatrix}=1 et que \left(0{,}2 \right)^0=1, on a finalement :

p\left( X=0\right)=\left(0{,}8\right)^{20}

On obtient donc :

p\left(X\geqslant1\right)=1-p\left(X=0\right)=1-0{,}8^{20}