Soient n un entier naturel non nul et k un entier naturel inférieur ou égal à n-1.
Que vaut \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} ?
Soient n un entier naturel non nul et k un entier naturel inférieur ou égal à n-1.
Vrai ou faux ? \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{(k+1)n!}{(k+1)!(n-k)!}.
On a bien \dfrac{n!}{k!(n-k)!} =\dfrac{(k+1)n!}{(k+1)k!(n-k)!}= \dfrac{(k+1)n!}{(k+1)!(n-k)!}.
Soient n un entier naturel non nul et k un entier naturel inférieur ou égal à n-1.
\dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{(k+1)n!}{(k+1)!(n-k)!}
Vrai ou faux ? \dfrac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} = \dfrac{(n+k)n!}{(k+1)!(n-k)!}.
Faux. Attention, ici on a :
\dfrac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} =\dfrac{(n-k)n!}{(k+1)!(n-k)(n-k-1)!} = \dfrac{(n-k)n!}{(k+1)!(n-k)!}
Soient n un entier naturel non nul et k un entier naturel inférieur ou égal à n-1.
- \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{(k+1)n!}{(k+1)!(n-k)!}
- \dfrac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} = \dfrac{(n-k)n!}{(k+1)!(n-k)!}
Comment peut-on réécrire \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} ?
\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} + \dfrac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\\\Leftrightarrow \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dfrac{(k+1)n!}{(k+1)!(n-k)!} + \dfrac{(n-k)n!}{(k+1)!(n-k)!}\\\Leftrightarrow \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dfrac{n!(k+1+n-k)}{(k+1)!(n-k)!} \\\Leftrightarrow \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dfrac{n!(n+1)}{(k+1)!(n-k)!} \\\Leftrightarrow \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dfrac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}
Soient n un entier naturel non nul et k un entier naturel inférieur ou égal à n-1.
\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dfrac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}
Vrai ou faux ? \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}.
\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dfrac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}\\\Leftrightarrow \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dfrac{(n+1)!}{(k+1)!((n+1)-(k+1))!}\\\Leftrightarrow \dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}