Des scientifiques réalisent une expérience d'observation sur des mouches drosophiles. Ils étudient la fréquence d'apparition de deux caractères : la couleur des yeux et la taille des ailes.
Parmi un ensemble E de 1 728 mouches, on note N le sous-ensemble des mouches ayant les yeux noirs, R le sous-ensemble des mouches ayant les yeux rouges, L le sous-ensemble des mouches ayant les ailes longues, et C le sous-ensemble des mouches ayant les ailes courtes. N et R sont disjoints et L et C aussi.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
E est l'ensemble des mouches de l'échantillon. Pour chacun des deux caractères « couleur des yeux » et « taille des ailes », chaque mouche présente l'une ou l'autre des deux caractéristiques possibles (yeux rouges ou noirs, ailes longues ou courtes).
Ainsi, l'ensemble des mouches ayant les yeux rouges ou noirs correspond à l'ensemble des mouches de l'échantillon.
De même, l'ensemble des mouches ayant les ailes courtes ou longues correspond à l'ensemble des mouches de l'échantillon.
En termes d'ensembles, cela revient donc à écrire :
N\cup R=L\cup C = E
On considère Card(L\cap R)=340 et Card(R)=681.
Que vaut Card(C\cap R) ?
On sait que R est le sous-ensemble de E contenant les mouches aux yeux rouges. On peut aussi exprimer R comme l'ensemble des mouches qui ont les yeux rouges et les ailes courtes et des mouches qui ont les yeux rouges et les ailes longues.
D'où :
R = (L \cap R)\cup(C\cap R)
On a donc :
Card(R)=Card((L\cap R)\cup(C\cap R))
Or, les deux L\cap R et C\cap R sont disjoints car une mouche ne peut pas avoir les ailes longues et les ailes courtes en même temps.
D'après le cours, on a alors :
Card(R)=Card(L\cap R)+Card(C\cap R)\\\Leftrightarrow Card(C\cap R) = Card(R) - Card(L\cap R)
En remplaçant par les valeurs indiquées dans l'énoncé :
Card(C\cap R) = 681-340
Ainsi, Card(C\cap R) = 341.
On considère que Card(C\cup R) = 812.
Que vaut Card(C) ?
D'après le cours, on peut écrire :
Card(C\cup R) = Card (C) + Card (R) - Card(C\cap R)\\\Leftrightarrow Card(C)=Card(C\cup R) + Card(C\cap R) - Card (R)
En remplaçant par les données de l'énoncé et le résultat de la question précédente, on obtient :
Card(C)=812+341-681
Ainsi, Card(C)=472.
Que valent Card(L) et Card(N) ?
On a montré à la question 1 que N\cup R=L\cup C = E.
On peut donc écrire :
Card(N\cup R)=Card(E) \Leftrightarrow Card(N\cup R)=\text{1 728}
et Card(L\cup C)=Card(E) \Leftrightarrow Card(L\cup C)=\text{1 728}
Or, d'après l'énoncé, N et R sont disjoints et C et L le sont aussi.
D'après le cours, on peut donc écrire :
Card(N\cup R)=Card(N)+Card(R)
et Card(L\cup C)=Card(L)+Card(C)
D'où :
Card(N)+Card(R) = \text{1 728}\Leftrightarrow Card(N)=\text{1 728}-Card(R)
et Card(L)+Card(C) = \text{1 728} \Leftrightarrow Card(L)=\text{1 728}-Card(C)
En remplaçant par les résultats des questions précédentes :
Card(N)=\text{1 728}-681
et Card(L)=\text{1 728}-472
Ainsi, Card (L)=\text{1 256} et Card(N)=\text{1 047}.