Soit E un ensemble fini tel que Card(E) = 42.
Quel est le nombre de sous-ensembles à 4 éléments de E ?
D'après le cours, soient n un entier naturel non nul et E un ensemble de cardinal n.
Soit k un entier naturel non nul compris entre 0 et n.
Le nombre de sous-ensembles de E à k éléments est :
\dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times (n-k+1)}{k\times (k-1)\times...\times 1}
Ici, on a donc :
\dfrac{42!}{4!(42-4)!} = \dfrac{42!}{4!\times 38!} \\\Leftrightarrow \dfrac{42!}{4!(42-4)!}=\dfrac{42\times 41\times 40\times 39}{4\times3\times 2} \\\Leftrightarrow \dfrac{42!}{4!(42-4)!}= 41\times 21 \times 13 \times 10
Le nombre de sous-ensembles à 4 éléments de E est donc égal à 111 930.
Soit E un ensemble fini tel que Card(E) = 19.
Quel est le nombre de sous-ensembles à 5 éléments de E ?
D'après le cours, soient n un entier naturel non nul et E un ensemble de cardinal n.
Soit k un entier naturel non nul compris entre 0 et n.
Le nombre de sous-ensembles de E à k éléments est :
\dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times (n-k+1)}{k\times (k-1)\times...\times 1}
Ici, on a donc :
\dfrac{19!}{5!(19-5)!} = \dfrac{19!}{5!\times 14!} \\\Leftrightarrow \dfrac{19!}{5!(19-5)!}=\dfrac{19\times 18\times 17\times 16\times 15}{5\times4\times3\times 2} \\\Leftrightarrow \dfrac{19!}{5!(19-5)!}= 19\times 17 \times 6 \times 3 \times 2
Le nombre de sous-ensembles à 5 éléments de E est donc égal à 11 628.
Soit E un ensemble fini tel que Card(E) = 24.
Quel est le nombre de sous-ensembles à 3 éléments de E ?
D'après le cours, soient n un entier naturel non nul et E un ensemble de cardinal n.
Soit k un entier naturel non nul compris entre 0 et n.
Le nombre de sous-ensembles de E à k éléments est :
\dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times (n-k+1)}{k\times (k-1)\times...\times 1}
Ici, on a donc :
\dfrac{24!}{3!(24-3)!} = \dfrac{24!}{3!\times 21!} \\\Leftrightarrow \dfrac{24!}{3!(24-3)!}=\dfrac{24\times 23\times 22}{3\times 2} \\\Leftrightarrow \dfrac{24!}{3!(24-3)!}= 23\times 8 \times 11
Le nombre de sous-ensembles à 5 éléments de E est donc égal à 2 024.
Soit E l'ensemble des multiples de 14 inférieurs ou égaux à 80.
Quel est le nombre de sous-ensembles à 3 éléments de E ?
On peut d'abord trouver :
E = \left\{ 14 ; 28 ; 42 ; 56 ; 70 \right\}
D'où Card(E) = 5.
D'après le cours, soient n un entier naturel non nul et E un ensemble de cardinal n.
Soit k un entier naturel non nul compris entre 0 et n.
Le nombre de sous-ensembles de E à k éléments est :
\dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times (n-k+1)}{k\times (k-1)\times...\times 1}
Ici, on a donc :
\dfrac{5!}{3!(5-3)!} = \dfrac{5!}{3!\times 2!} \\\Leftrightarrow \dfrac{5!}{3!(5-3)!}=\dfrac{5\times 4}{2} \\\Leftrightarrow \dfrac{5!}{3!(5-3)!}= 5\times 2
Le nombre de sous-ensembles à 5 éléments de E est donc égal à 10.
Soit E l'ensemble des multiples de 11 inférieurs ou égaux à 80.
Quel est le nombre de sous-ensembles à 4 éléments de E ?
On peut d'abord trouver :
E = \left\{ 11 ; 22 ; 33 ; 44 ; 55 ; 66 ; 77 \right\}
D'où Card(E) = 7.
D'après le cours, soient n un entier naturel non nul et E un ensemble de cardinal n.
Soit k un entier naturel non nul compris entre 0 et n.
Le nombre de sous-ensembles de E à k éléments est :
\dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times (n-k+1)}{k\times (k-1)\times...\times 1}
Ici, on a donc :
\dfrac{7!}{4!(7-4)!} = \dfrac{7!}{4!\times 3!} \\\Leftrightarrow \dfrac{7!}{4!(7-4)!}=\dfrac{7\times 6\times 5}{3\times 2} \\\Leftrightarrow \dfrac{7!}{4!(7-4)!}= 7\times 5
Le nombre de sous-ensembles à 5 éléments de E est donc égal à 35.