Réaliser un dénombrement simple dans une situation de probabilité Problème

Pour calculer une probabilité à l'aide du dénombrement, on utilise la formule :
P(\text{événement}) = \dfrac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre total d'issues}}

Soit A l'événement : « Tirer 3 jetons jaunes ».

On calcule d'abord le nombre d'issues favorables.

Le nombre de tirage où les 3 jetons sont jaunes est le nombre d'arrangement de E_{\text{jaune}}.

En effet, comme il n'y a pas de remise (on tire les jetons successivement), l'ordre compte.

Le nombre d'arrangements à 3 éléments d'un ensemble à 6 éléments est :
\dfrac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120

On calcule maintenant le nombre d'issues possibles :

Le nombre total d'issues est le nombre d'arrangements à 3 éléments d'un ensemble E_{\text{total}} de cardinal 9.

Le nombre d'arrangements à 3 éléments d'un ensemble à 9 éléments est :
\dfrac{9!}{6!} = 9 \times 8 \times 7 = 504

Ainsi, P(A) = \dfrac{120}{504} = \dfrac{5}{21} .

Pour calculer une probabilité à l'aide du dénombrement on utilise la formule :
P(\text{événement}) = \dfrac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre total d'issues}}

Soit A l'événement : « Tirer 2 jetons jaunes ou moins ».

On a P(A) = P(A_0) +P(A_1) + P(A_2) où :
A_0 est l'événement : « Ne pas tirer de jetons jaunes ».
A_1 est l'événement : « Tirer 1 jeton jaune ».
A_2 est l'événement : « Tirer 2 jetons jaunes ».

Comme il n'y a que 3 jetons bleus, tirer 3 jetons bleus est le nombre de permutations de 3 éléments :
P(A_0) = \dfrac{3!}{504} = \dfrac{6}{504}

Tirer exactement un jeton jaune signifie que dans le tirage final, on aura deux jetons bleus.

Donc le nombre d'issues favorables est :
\text{Nombre d'arrangements de 2 éléments dans un ensemble de 3 éléments} \times \text{Nombre d'arrangements de 1 élément dans un ensemble de 6 éléments} \times 3

(On multiplie par 3 pour prendre en compte les trois possibilités : le jeton jaune est tiré en premier, le jeton jaune est tiré en deuxième, le jeton jaune est tiré en troisième.)

Donc P(A_1)= \dfrac{\dfrac{3!}{1!} \times \dfrac{6!}{5!}\times3}{504} = \dfrac{6 \times 6 \times 3}{504} = \dfrac{108}{504} .

Enfin, de manière analogue en considérant les arrangements de 1 élément dans un ensemble à 3 éléments (jetons bleus) et ceux de 2 éléments dans un ensemble à 6 éléments (jetons jaunes) :
P(A_2) = \dfrac{\dfrac{3!}{2!} \times \dfrac{6!}{4!}\times 3}{504} = \dfrac{270}{504}

D'après la question précédente, le nombre total d'issues est de 504.

Donc P(A) = P(A_0) + P(A_1) + P(A_2) = \dfrac{6+108+270}{504}=\dfrac{384}{504} = \dfrac{16}{21}.

Pour calculer une probabilité à l'aide du dénombrement, on utilise la formule :
P(\text{événement}) = \dfrac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre total d'issues}}

Soit A l'événement : « Tirer 3 jetons jaunes ».

Comme on tire maintenant les 3 jetons simultanément, l'ordre des jetons ne compte plus. Il s'agit donc de combinaisons.

Le nombre d'issues favorables est donc le nombre de combinaisons à 3 éléments dans un ensemble à 6 éléments.

D'après le cours, le nombre d'événements favorables est donc :
\begin{pmatrix} 3 \cr 6 \end{pmatrix} = \dfrac{6!}{3! \times 3!} = \dfrac{720}{36} = 20

Le nombre d'issues total est le nombre de combinaisons à trois éléments dans un ensemble à 9 éléments soit :
\begin{pmatrix} 9 \cr 3 \end{pmatrix} = \dfrac{9!}{6! \times 3!} = \dfrac{362\: 880}{4\ 320} = 84

Finalement :
P(A) = \dfrac{20}{84} = \dfrac{5}{21}

Pour calculer une probabilité à l'aide du dénombrement, on utilise la formule :
P(\text{événement}) = \dfrac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre total d'issues}}

Soit A l'événement : « Tirer 2 jetons jaunes ou moins ».

On a P(A) = P(A_0) +P(A_1) + P(A_2) où :
A_0 est l'événement : « Ne pas tirer de jetons jaunes ».
A_1 est l'événement : « Tirer un jeton jaune ».
A_2 est l'événement : « Tirer deux jetons jaunes ».

D'après la question précédente, le nombre total d'issues est de 84.

Comme il n'y a que 3 jetons bleus, tirer 3 jetons bleus simultanément n'a qu'une issue possible, donc :
P(A_0) = \dfrac{1}{84}

Tirer exactement un jeton jaune signifie que, dans le tirage final, on aura 2 jetons bleus.

Donc le nombre d'issues favorables est :
\text{Nombre de combinaisons de 2 éléments dans un ensemble de 3 éléments} \times \text{Nombre de combinaisons de 1 élément dans un ensemble de 6 éléments}

Donc P(A_1)= \dfrac{\dfrac{3!}{1!\times 2!} \times \dfrac{6!}{5!\times 1!}}{84} = \dfrac{3 \times 6}{84} = \dfrac{18}{84} .

Enfin de manière analogue en considérant les combinaisons de 1 élément dans un ensemble à 3 éléments (jetons bleus) et celles de 2 éléments dans un ensemble à 6 éléments (jetons jaunes) :
P(A_2) = \dfrac{\dfrac{3!}{2!\times 1!} \times \dfrac{6!}{4! \times 2!}}{504} = \dfrac{45}{84}

Donc P(A) = P(A_0) + P(A_1) + P(A_2) = \dfrac{1+18+45}{84}=\dfrac{64}{84} = \dfrac{16}{21}.