Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et p un entier naturel non nul inférieur ou égal à n-1.
Quelle est l'expression de \dbinom{n}{p} en fonction de n-1, p et p-1 ?
D'après le cours, soient n un entier naturel non nul et p un entier naturel inférieur ou égal à n-1.
On a :
\dbinom{n+1}{p+1} =\dbinom{n}{p} + \dbinom{n}{p+1}
On peut donc en déduire que, soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et p un entier naturel non nul inférieur ou égal à n-1 :
\dbinom{n}{p} =\dbinom{n-1}{p-1} + \dbinom{n-1}{p}
Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 3 et p un entier naturel compris entre 2 et n-2.
Quelle est l'expression de \dbinom{n}{p} en fonction de n-2, p et p-2 ?
On part du résultat de la question précédente :
\dbinom{n}{p} =\dbinom{n-1}{p-1} + \dbinom{n-1}{p}\\\Leftrightarrow \dbinom{n}{p} = \dbinom{n-2}{p-2} + \dbinom{n-2}{p-1} + \dbinom{n-2}{p-1} + \dbinom{n-2}{p}
Ici, on a appliqué la formule de la première question aux membres \dbinom{n-1}{p-1} et \dbinom{n-1}{p}.
Ainsi, d'après le cours, soient n un entier naturel non nul et p un entier naturel inférieur ou égal à n-1.
On a :
\dbinom{n+1}{p+1} =\dbinom{n}{p} + \dbinom{n}{p+1}
On peut donc en déduire que, soient n un entier naturel supérieur ou égal à 3 et p un entier naturel compris entre 2 et n-2 :
\dbinom{n}{p} = \dbinom{n-2}{p-2} + 2\dbinom{n-2}{p-1} + \dbinom{n-2}{p}
Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 4 et p un entier naturel compris entre 3 et n-3.
Quelle est l'expression de \dbinom{n}{p} en fonction de n-3, p, p-1 et p-2 ?
On part du résultat de la question précédente :
\dbinom{n}{p} = \dbinom{n-2}{p-2} + 2\dbinom{n-2}{p-1} + \dbinom{n-2}{p}\\\Leftrightarrow \dbinom{n}{p} = \dbinom{n-3}{p-3} + \dbinom{n-3}{p-2} + 2\left[ \dbinom{n-3}{p-2} + \dbinom{n-3}{p-1} \right] + \dbinom{n-3}{p-1} +\dbinom{n-3}{p}
Ici, on a appliqué la formule de la première question aux membres \dbinom{n-1}{p-1} et \dbinom{n-1}{p}.
On a donc :
\dbinom{n}{p} = \dbinom{n-3}{p-3} + 3\left[ \dbinom{n-3}{p-2} + \dbinom{n-3}{p-1} \right] + \dbinom{n-3}{p}