Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=2x^2+4x-3 m
Pour quelle(s) valeur(s) de m la courbe représentative P de la fonction f coupe-t-elle l'axe des abscisses en un seul point ?
P coupe l'axe des abscisses en un seul point si et seulement si f\left(x\right)=0 admet une seule solution. C'est-à-dire si le discriminant du trinôme du second degré est nul.
\Delta=0
\Leftrightarrow b^2-4\times a\times c=0
\Leftrightarrow 4^2-4\times2\times \left(-3 m\right)=0
\Leftrightarrow 16+24 m=0
\Leftrightarrow m=-\dfrac{16}{24}=-\dfrac{2}{3}
La parabole coupe l'axe des abscisses en un seul point pour m=-\dfrac{2}{3}.
Pour quelle(s) valeur(s) de m la parabole P coupe-t-elle la droite d'équation y=-x+5 en un seul point ?
Les points de coordonnées \left( x;y \right), intersection de la parabole et de la droite, vérifient à la fois l'équation de la parabole et de la droite. Ils sont sont solutions du système suivant :
\begin{cases} y=2x^2+4x-3 m \cr \cr y=-x+5 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} -x+5=2x^2+4x-3 m \cr \cr y=-x+5 \end{cases}
On considère la première ligne du système qui donne les abscisses x solutions.
-x+5=2x^2+4x-3 m\Leftrightarrow 2x^2+5x-3 m-5=0
On cherche les valeurs de m telles que la parabole et la droite ne se coupent qu'en un point. Cette dernière équation admet une solution unique si et seulement si son discriminant est nul :
\Delta=0
\Leftrightarrow 5^2-4\times2\times\left(-3 m-5\right)=0
\Leftrightarrow 25+24 m+40=0
\Leftrightarrow 24 m=-65
\Leftrightarrow m=-\dfrac{65}{24}
La parabole P coupe donc la droite d'équation y=-x+5 en un seul point pour m=-\dfrac{65}{24}.
Pour quelle(s) valeur(s) de m la parabole P passe-t-elle par le point E\left( 2;19 \right) ?
La parabole passe par le point E\left( 2;19 \right) si et seulement si f\left(2\right)=19
\Leftrightarrow 2\times2^2+4\times2-3 m=19
\Leftrightarrow 16-3 m=19
\Leftrightarrow-3 m=3
\Leftrightarrow m=-1
La parabole P passe donc par le point E\left( 2;19 \right) pour m=-1.
Pour quelle(s) valeur(s) de m le minimum de la fonction f est-il égal à 5 ?
Le trinôme 2x^2+4x-3 m admet pour minimum :
\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-16-24 m}{8}=-2-3 m
Pour que le minimum de f soit donc égal à 5, on doit donc avoir :
-2-3 m=5\Leftrightarrow -3 m=7\Leftrightarrow m=-\dfrac{7}{3}
Le minimum de la fonction f est donc égal à 5 pour m=-\dfrac{7}{3}.