Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-2mx^2-4x+1
Pour quelle(s) valeur(s) de m la courbe représentative P de la fonction f coupe-t-elle l'axe des abscisses en un seul point ?
P coupe l'axe des abscisses en un seul point si et seulement si f\left(x\right)=0 admet une seule solution. C'est-à-dire si le discriminant du trinôme du second degré est nul.
\Delta=0
\Leftrightarrow b^2-4\times a\times c=0
\Leftrightarrow \left(-4\right)^2-4\times\left(-2 m\right)\times 1=0
\Leftrightarrow 16+8 m=0
\Leftrightarrow m=-2
La parabole coupe l'axe des abscisses en un seul point pour m=-2.
Pour quelle(s) valeur(s) de m la parabole P coupe-t-elle la droite d'équation y=3x+2 en un seul point ?
Les points de coordonnées \left( x;y \right), intersection de la parabole et de la droite, vérifient à la fois l'équation de la parabole et de la droite. Ils sont sont solutions du système suivant :
\begin{cases} y=-2mx^2-4x+1 \cr \cr y=3x+2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 3x+2=-2mx^2-4x+1 \cr \cr y=3x+2 \end{cases}
On considère la première ligne du système qui donne les abscisses x solutions.
3x+2=-2mx^2-4x+1\Leftrightarrow -2mx^2-7x-1=0
On cherche les valeurs de m telles que la parabole et la droite ne se coupent qu'en un point. Cette dernière équation admet une solution unique si et seulement si son discriminant est nul :
\Delta=0
\Leftrightarrow \left(-7\right)^2-4\times\left(-2 m\right)\times\left(-1\right)=0
\Leftrightarrow 49-8 m=0
\Leftrightarrow 8 m=49
\Leftrightarrow m=\dfrac{49}{8}
La parabole P coupe donc la droite d'équation y=3x+2 en un seul point pour m=\dfrac{49}{8}.
Pour quelle(s) valeur(s) de m la parabole P passe-t-elle par le point E\left( -2;-15 \right) ?
La parabole passe par le point E\left( -2;-15 \right) si et seulement si f\left(-2\right)=-15
\Leftrightarrow -2 m\times\left(-2\right)^2-4\times\left(-2\right)+1=-15
\Leftrightarrow -8 m+8+1=-15
\Leftrightarrow-8 m=-24
\Leftrightarrow m=3
La parabole P passe donc par le point E\left( 2;19 \right) pour m=3.
Pour quelle(s) valeur(s) de m le maximum de la fonction f est-il égal à 2 ?
Le trinôme -2mx^2-4x+1 admet pour maximum :
\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-16-8 m}{-8 m}=\dfrac{2+m}{m}, à condition que m\gt0. En effet, un trinôme admet un maximum le coefficient de si son terme en x^2 (ici -2 m ) est strictement négatif.
Pour que le maximum de f soit donc égal à 2, on doit donc avoir :
\dfrac{2+m}{m}=2\Leftrightarrow 2+m=2 m\Leftrightarrow m=2
Le maximum de la fonction f est donc égal à 2 pour m=2.