Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-mx^2+3x-m
Pour quelle(s) valeur(s) de m la courbe représentative P de la fonction f coupe-t-elle l'axe des abscisses en un seul point ?
P coupe l'axe des abscisses en un seul point si et seulement si f\left(x\right)=0 admet une seule solution. C'est-à-dire si le discriminant du trinôme du second degré est nul.
\Delta=0
\Leftrightarrow b^2-4\times a\times c=0
\Leftrightarrow 3^2-4\times\left(-m\right)\times \left(-m\right)=0
\Leftrightarrow 9-4 m^2=0
\Leftrightarrow \left(3-2 m\right)\left(3+2 m\right)=0
\Leftrightarrow 3-2 m=0\text{ ou }3+2 m=0
\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\text{ ou }m=-\dfrac{3}{2}
La parabole coupe l'axe des abscisses en un seul point pour m=\dfrac{3}{2}\text{ et }m=-\dfrac{3}{2}.
Pour quelle(s) valeur(s) de m la parabole P coupe-t-elle la droite d'équation y=-2x+1 en un seul point ?
Les points de coordonnées \left( x;y \right), intersection de la parabole et de la droite, vérifient à la fois l'équation de la parabole et de la droite. Ils sont sont solutions du système suivant :
\begin{cases} y=-mx^2+3x-m \cr \cr y=-2x+1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} -2x+1=-mx^2+3x-m \cr \cr y=-2x+1 \end{cases}
On considère la première ligne du système qui donne les abscisses x solutions.
-2x+1=-mx^2+3x-m\Leftrightarrow -mx^2+5x-m-1=0
On cherche les valeurs de m telles que la parabole et la droite ne se coupent qu'en un point. Cette dernière équation admet une solution unique si et seulement si son discriminant est nul :
\Delta=0
\Leftrightarrow 5^2-4\times\left(-m\right)\times\left(-m-1\right)=0
\Leftrightarrow 25-4 m^2-4 m=0
\Leftrightarrow-4 m^2-4 m+25=0
Pour résoudre cette équation du second degré d'inconnue m, il faut calculer le discriminant du trinôme.
\Delta_2=\left(-4\right)^2-4\times\left(-4\right)\times25=16+400=416
\Delta_2\gt0 donc l'équation admet deux racines réelles :
- m_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta_2}}{2a}=\dfrac{4-\sqrt{416}}{2\times\left(-4\right)}=\dfrac{4-4\sqrt{26}}{-8}=\dfrac{-1+\sqrt{26}}{2}
- m_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta_2}}{2a}=\dfrac{4+\sqrt{416}}{2\times\left(-4\right)}=\dfrac{4+4\sqrt{26}}{-8}=\dfrac{-1-\sqrt{26}}{2}
La parabole P coupe donc la droite d'équation y=-2x+1 en un seul point pour m=\dfrac{-1+\sqrt{26}}{2}\text{ et }m=\dfrac{-1-\sqrt{26}}{2}.
Pour quelle(s) valeur(s) de m la parabole P passe-t-elle par le point E\left( 1;-1 \right) ?
La parabole passe par le point E\left( 1;-1 \right) si et seulement si f\left(1\right)=-1
\Leftrightarrow -m\times1^2+3\times1-m=-1
\Leftrightarrow -m+3-m=-1
\Leftrightarrow -2 m=-4
\Leftrightarrow m=2
La parabole P passe donc par le point E\left( 1;-1 \right) pour m=2.
Pour quelle(s) valeur(s) de m le minimum de la fonction f est-il égal à \dfrac{5}{4} ?
Le trinôme -mx^2+3x-m admet pour minimum :
\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-9+4 m^2}{-4 m}, à condition que m<0 pour que le coefficient du terme en x^2 du trinôme (ici -m ) soit strictement positif. En effet, il faut cette condition pour que la parabole possède un minimum.
Pour que le minimum de f soit donc égal à 8, on doit donc avoir :
\dfrac{-9+4 m^2}{-4 m}=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow -9+4 m^2=-5 m\Leftrightarrow 4 m^2+5 m-9=0
il s'agit d'une équation du second degré d'inconnue m, pour la résoudre calculons le discriminant du trinôme :
\Delta_2=5^2-4\times4\times\left(-9\right)=25+144=169
\Delta_2\gt0 donc l'équation admet deux racines :
- m_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta_2}}{2a}=\dfrac{-5-\sqrt{169}}{2\times4}=\dfrac{-5-13}{8}=\dfrac{-18}{8}=-\dfrac{9}{4}
- m_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta_2}}{2a}=\dfrac{-5+\sqrt{169}}{2\times4}=\dfrac{-5+13}{8}=\dfrac{8}{8}=1
Il faut m\lt0 donc la seule solution est -\dfrac{9}{4}.
Le minimum de la fonction f est donc égal à \dfrac{5}{4} pour m=-\dfrac{9}{4}.