La notion de nombre complexe
L'ensemble des nombres complexes
Nombre i
On admet qu'il existe un ensemble de nombres, noté \mathbb{C}, qui contient l'ensemble des nombres réels \mathbb{R}, vérifiant les propriétés suivantes :
- \mathbb{C} contient un nombre i tel que i^2=-1.
- Tous les éléments de \mathbb{C} s'écrivent sous la forme a+ib où a et b sont des nombres réels.
- \mathbb{C} est muni de l'addition et de la multiplication qui possèdent les mêmes propriétés que dans l'ensemble des nombres réels.
Cet ensemble est appelé l'ensemble des nombres complexes.
La forme algébrique
Forme algébrique
L'écriture z = x + iy (où x et y sont des réels) est appelée forme algébrique de z. Elle est unique.
Le nombre complexe z=12-4i est écrit sous forme algébrique.
Parties réelle et imaginaire
Soit un nombre complexe z = x + iy, où x et y sont des réels :
- On appelle partie réelle de z, notée \text{Re}\left(z\right), le réel x.
- On appelle partie imaginaire de z, notée \text{Im}\left(z\right), le réel y.
Soit le nombre complexe z=12-4i :
- La partie réelle du nombre z est : Re\left(z\right)=12
- La partie imaginaire du nombre z est : Im\left(z\right)=-4
Nombres complexes égaux
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.
- Le nombre z est réel si et seulement si \text{Im}\left(z\right) = 0.
- Le nombre z est imaginaire pur si et seulement si \text{Re}\left(z\right) = 0.
Soit z=-6. Im\left(z\right)=0 et donc z\in \mathbb{R}.
Soit z=5i. Re\left(z\right)=0 et donc z est un imaginaire pur.
On note i\mathbb{R} l'ensemble des nombres complexes imaginaires purs.
Inverse d'un nombre complexe
Soit z un nombre complexe non nul. Il existe un unique nombre complexe z' tel que zz' = 1.
Ce nombre est l'inverse de z, noté \dfrac{1}{z}.
L'inverse de i est -i :
i\times \left(-i\right)=-i^2=-\left(-1\right)=1
Le conjugué et le module
Le conjugué
Conjugué
Soit un nombre complexe z = x + iy, où x et y sont des réels. On appelle conjugué de z, noté \bar{z}, le complexe :
\bar{z}=x - iy
\overline{2 - 2i} = 2 + 2i
\overline{4i} = -4i
\overline{2} = 2
Soient z et z' deux nombres complexes :
\overline{\overline{z}} = z
\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}
\overline{zz'} = \overline{z} \overline{z'}
Si z' est non nul :
\overline{ \left(\dfrac{z}{z'} \right) } = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}
Pour tout entier relatif n (avec z non nul si n\leqslant 0 ) :
\overline{z^n}= \left(\overline{z}\right)^{n}
\overline{\left(3+i\right)\left(5-8i\right)}=\overline{\left(3+i\right)}\times \overline{\left(5-8i\right)}=\left(3-i\right)\left(5+8i\right)=15+24i-5i+8=23+19i
\overline{\left( \dfrac{1-i}{1+i}\right)^2}=\overline{\left( \dfrac{1-i}{1+i}\right)}^2=\left( \dfrac{\overline{1-i}}{\overline{1+i}} \right)^2=\left( \dfrac{1+i}{1-i} \right)^2
Soit z un nombre complexe.
z + \overline{z} = 2 \text{Re}\left(z\right)
z - \overline{z} = 2i \text{ Im}\left(z\right)
Soit z un nombre complexe.
- z est réel \Leftrightarrow z = \overline{z}
- z est imaginaire pur \Leftrightarrow z = - \overline{z}
Le module
Module
Soit un nombre complexe z = x + iy, où x et y sont des réels. On appelle module de z, noté |z|, le réel :
\left| z \right|=\sqrt{x^{2} + y^{2}}
|1 + 2i| = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}
|-3i| = \sqrt{0^{2} + \left(-3\right)^{2}} = \sqrt{0 + 9} = \sqrt{9} = 3
Ne pas confondre module et valeur absolue.
Soient z et z' deux nombres complexes. On a :
z \overline{z} = |z|^{2}
|z| = |\overline{z}|
|z| = |- z|
|zz'| = |z| \times |z'|
Si z' est non nul :
\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}
Pour tout entier relatif n (avec z non nul si n\leqslant0 ) :
|z^{n}| = |z|^{n}
\left| \left(3+i\right)\left(5-8i\right) \right| =\left| 3+i \right|\times \left| 5-8i \right|=\sqrt{10}\times \sqrt{89}=\sqrt{890}
\left| \dfrac{1-i}{1+i} \right|=\dfrac{\left| 1-i \right|}{\left| 1+i \right|}=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}=1
La représentation géométrique
Affixe
Soit un repère orthonormal direct du plan \left(O ; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right). À tout point M de coordonnées \left(x ; y\right), on associe le nombre complexe z = x + iy :
- Le nombre complexe z est appelé affixe du point M (et du vecteur \overrightarrow{OM} ).
- Le point M est appelé image du nombre complexe z.
On définit ainsi le plan complexe.
Les points M et M', images respectives des nombres complexes z et \overline{z} dans le plan complexe, sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
Le module |z| du nombre complexe z, affixe du point M, est égal à la distance OM.
Soit \overrightarrow{u} un vecteur du plan de coordonnées \left( a;b \right). Alors le nombre complexe z=a+ib est appelé affixe du vecteur \overrightarrow{u}, et noté z_{\overrightarrow{u}}.
- Si A et B sont des points du plan complexe d'affixes z_A et z_B, alors z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A.
- Si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont des vecteurs d'affixes z_{\overrightarrow{u}} et z_{\overrightarrow{v}}, le vecteur \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} a pour affixe z_{\overrightarrow{u}}+z_{\overrightarrow{v}}.
- Si \overrightarrow{u} est un vecteur d'affixe z_{\overrightarrow{u}} et k est un réel, alors le vecteur k\overrightarrow{u} a pour affixe kz_{\overrightarrow{u}}.
Les équations dans \mathbb{C}
Résoudre une équation dans \mathbb{C}
Les équations du second degré dans \mathbb{C}
Racines complexes
Soit un trinôme du second degré à coefficients réels (a \neq 0) az^{2} + bz + c, de discriminant \Delta \lt 0. Ce trinôme admet deux racines complexes conjuguées :
z_{1} =\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta }}{2a}
z_{2} =\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta }}{2a}
Résolvons dans \mathbb{C} l'équation suivante : 3z^2+z+8=0.
\Delta=1^2-4\times3\times8=-95\lt0.
L'équation possède deux solutions complexes conjuguées :
- z_1=\dfrac{-1-i\sqrt{95}}{6}
- z_2=\dfrac{-1+i\sqrt{95}}{6}
Si le trinôme du second degré a un discriminant \Delta \geqslant0, alors on retombe sur une équation du second degré classique.
Les formes trigonométrique et exponentielle
Forme trigonométrique
Argument
Soit z un nombre complexe non nul et M le point d'affixe z du plan complexe. On appelle argument de z, noté \arg\left(z\right), une mesure en radians de l'angle orienté \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right) :
\arg\left(z\right) \equiv \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right) \left[2\pi \right]
Forme trigonométrique
Soit un nombre complexe z non nul d'argument \theta. On peut alors exprimer z sous forme trigonométrique :
z = |z| \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right)
Réciproquement, si z = r \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right), avec r \gt 0 et \theta réel quelconque, alors :
|z| = r
\arg\left(z\right) \equiv \theta\left[ 2\pi \right]
Le nombre complexe z=3\left(\cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)+i\sin\left( \dfrac{\pi}{3} \right)\right) est le nombre complexe de module 3 et dont un argument est \dfrac{\pi}{3}.
Soit z=x+iy (où x et y sont des réels) un nombre complexe non nul. Soit z = r \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right) une forme trigonométrique de z. Alors :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}
Nombres égaux
Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement s'ils ont même module et même argument modulo 2\pi.
Soient z et z' deux nombres complexes non nuls.
\arg\left(zz'\right) \equiv \arg\left(z\right) + \arg\left(z'\right)\left[ 2\pi \right]
\arg\left(\dfrac{1}{z}\right) \equiv - \arg\left(z\right)\left[ 2\pi \right]
\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) \equiv \arg\left(z\right) - \arg\left(z'\right)\left[ 2\pi \right]
Pour tout entier relatif n :
\arg\left(z^{n}\right) \equiv n \arg\left(z\right)\left[ 2\pi \right]
\arg\left( \left(3+2i\right)\left(5-i\right) \right)\equiv\arg\left(3+2i\right)+\arg\left(5-i\right)\left[ 2\pi \right]
\arg\left( \dfrac{18-6i}{39i}\right)\equiv\arg\left(18-6i\right)-\arg\left(39i\right)\left[ 2\pi \right]
\arg\left(\left(4i+8 \right)^5\right)\equiv5\arg\left(4i+8\right)\left[ 2\pi \right]
Soit z un nombre complexe non nul :
- z est réel \Leftrightarrow \arg\left(z\right) \equiv 0 \left[2\pi \right] ou \arg\left(z\right) \equiv \pi \left[2\pi \right]
- z est imaginaire pur \Leftrightarrow \arg\left(z\right) \equiv \dfrac{\pi }{2}\left[2\pi \right] ou \arg\left(z\right) \equiv -\dfrac{\pi }{2}\left[2\pi \right]\Leftrightarrow \arg\left(z\right) \equiv \dfrac{\pi }{2}\left[\pi \right]
Autrement dit, si z est un nombre complexe non nul :
- z est réel \Leftrightarrow \arg\left(z\right) \equiv 0 \left[\pi \right]
- z est imaginaire pur \Leftrightarrow \arg\left(z\right) \equiv \dfrac{\pi }{2}\left[\pi \right]
Forme exponentielle
Exponentielle complexe
e^{i\theta} = \cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)
e^{i\frac{\pi}{6}}=\cos\left( \dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left( \dfrac{\pi}{6} \right)
Attention, une exponentielle complexe peut être négative.
e^{i\pi } = -1
Forme exponentielle
Soit un nombre complexe z non nul d'argument \theta. On peut alors exprimer z sous forme exponentielle :
z = |z| e^{i\theta}
Réciproquement, si z = re^{i\theta}, avec r \gt 0 et \theta réel quelconque, alors :
|z| = r
arg\left(z\right) \equiv \theta\left[ 2\pi \right]
Le nombre complexe z=5e^{i\frac{\pi}{4}} est le nombre complexe de module 5 et dont un des arguments est \dfrac{\pi}{4}.
Soient \theta et \theta' deux réels. On a :
\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}
e^{i\left(\theta+\theta'\right)} = e^{i\theta} e^{i\theta'}
\dfrac{1}{e^{i\theta}}= e^{-i\theta}
Pour tout entier relatif n :
\left(e^{i\theta}\right)^{n} = e^{in\theta}
\overline{e^{i\frac{\pi}{3}}}=e^{-i\frac{\pi}{3}}
e^{i\frac{\pi}{4}}\times e^{i\frac{\pi}{3}}=e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right)}=e^{i\frac{7\pi}{12}}
Interprétation géométrique
Distance
Soient A et B deux points d'affixes respectives z_{A} et z_{B} :
AB = |z_{B} - z_{A}|
Soient A et B deux points d'affixes respectives z_A=1+2i et z_B=5+i.
AB=\left| z_B-z_A \right|=\left| 5+i-1-2i \right|=\left|4-i \right|=\sqrt{17}
Angle
Soient A et B deux points d'affixes respectives z_{A} et z_{B} :
\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AB}\right) \equiv \arg\left(z_{B} - z_{A}\right)\left[ 2\pi \right]
Soient A et B deux points d'affixes respectives z_A=4+2i et z_B=5+i.
\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{AB} \right)\equiv\arg\left(z_B-z_A\right)\left[ 2\pi \right]=\arg\left(5+i-4-2i\right)\left[ 2\pi \right]\equiv\arg\left(1-i\right)\left[ 2\pi \right]\equiv-\dfrac{\pi}{4}\left[2\pi\right]
Argument d'un quotient
Soient \overrightarrow{v_{1}} et \overrightarrow{v_{2}} deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z_{1} et z_{2} :
\left(\overrightarrow{v_{1}} ; \overrightarrow{v_{2}}\right)\equiv \arg\left(\dfrac{z_{2}}{z_{1}}\right)\left[ 2\pi \right]
Argument d'un quotient (2)
Soient A, B et C trois points distincts d'affixes respectives z_{A}, z_{B} et z_{C} (avec z_A\neq z_B ) :
\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) \equiv \arg\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right)\left[ 2\pi \right]