Afin de calculer le module \left| z \right| et un argument \theta d'un nombre complexe z, on détermine sa forme algébrique z = a+ib. On applique ensuite les formules du cours.
Déterminer le module et un argument du nombre complexe z suivant :
z = \sqrt 3 +3i
Identifier Re\left(z\right) et Im\left(z\right)
Si cela n'est pas déjà fait, on simplifie l'écriture du nombre complexe z afin d'obtenir sa forme algébrique z =a+ib, avec a et b deux réels.
On peut ainsi facilement isoler la partie réelle et la partie imaginaire de z, on obtient :
- Re\left(z\right) = a
- Im\left(z\right) = b
z est déjà écrit sous forme algébrique.
On a :
- Re\left(z\right) = \sqrt3
- Im\left(z\right) = 3
Calculer le module
On rappelle que le module d'un nombre complexe z =a+ib est :
\left| z \right| = \sqrt{a^2+b^2}
On calcule le module et on simplifie son expression si possible.
On sait que, pour tout nombre complexe z= a+ib :
\left| z \right| = \sqrt{a^2+b^2}
Ici, on obtient :
\left| z \right| = \sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+3^2}
\left| z \right| = \sqrt{ 3+9}
\left| z \right| = \sqrt{12}
Finalement :
\left| z \right| = 2\sqrt{ 3}
Écrire les égalités sur cos et sin
On rappelle qu'un argument \theta d'un nombre complexe z vérifie :
- \cos\left(\theta\right) = \dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
- \sin\left(\theta\right) = \dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}
On écrit ces égalités pour le complexe recherché.
Soit \theta un argument de z. On sait que :
- \cos\left(\theta\right) = \dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
- \sin\left(\theta\right) = \dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}
Donc, ici :
- \cos\left(\theta\right) = \dfrac{\sqrt 3}{2\sqrt 3}=\dfrac{1}{2}
- \sin\left(\theta\right) = \dfrac{3}{2\sqrt 3} =\dfrac{\sqrt 3}{2}
Déterminer un argument
À l'aide d'un cercle trigonométrique, on détermine la valeur de \theta appartenant à \left] -\pi ; \pi \right] qui correspond aux valeurs précédentes de \cos\left(\theta\right) et \sin\left(\theta\right).
À l'aide du cercle trigonométrique, on en conclut que :
\theta = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}
On ne peut pas déterminer un argument d'un nombre complexe z donné sous forme algébrique sans avoir préalablement calculé le module de celui-ci.