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  4. Formulaire : Les nombres complexes

Les nombres complexes Formulaire

Sommaire

IIntroductionIIForme algébriqueIIIModule et argumentIVEquation du second degré dans \mathbb{C}
I

Introduction

Le nombre i

i^2=-1

II

Forme algébrique

Forme algébrique

L'écriture z = x + iy avec x\in\mathbb{R} et y\in\mathbb{R} est appelée forme algébrique de z. Elle est unique.

Partie réelle et partie imaginaire

Soit un nombre complexe z = x + iy :

  • on appelle partie réelle de z, notée \text{Re}\left(z\right), le réel x ;
  • on appelle partie imaginaire de z, notée \text{Im}\left(z\right), le réel y.

Conjugué

Soit un nombre complexe z = x + iy.
On appelle conjugué de z, noté \overline{z}, le complexe x-iy.

Soient z et z' deux nombres complexes.

  • \overline{\overline{z}} = z
  • z + \overline{z} = 2 \text{Re}\left(z\right)
  • z - \overline{z} = 2i \text{ Im}\left(z\right)
  • z est réel \Leftrightarrow z = \overline{z}
  • z est imaginaire pur \Leftrightarrow z = - \overline{z}
  • \overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}
  • \overline{zz'} = \overline{z} \overline{z'}
  • Si z' non nul : \overline{ \left( \dfrac{z}{z’} \right) } = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}
  • Pour tout entier n : \overline{z^n}= \left(\overline{z}\right)^{n}
III

Module et argument

Module

Soit un nombre complexe z = x + iy.
On appelle module de z, noté |z|, le réel :

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

Soient z et z’ deux nombres complexes.

  • z \overline{z} = |z|^{2}
  • |z| = |\overline{z}|
  • |z| = |- z|
  • |zz'| = |z| \times |z'|
  • Si z' non nul : \left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}
  • Pour tout entier n : |z^{n}| = |z|^{n}

Argument

On appelle argument de z, noté \arg\left(z\right) la mesure en radians de l'angle orienté \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right) :

\arg\left(z\right) = \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right) \left[2\pi \right]

-

Soient z et z' deux nombres complexes non nuls.

  • \arg\left(zz'\right) = \arg\left(z\right) + \arg\left(z'\right)\left[2\pi \right]
  • \arg\left(\dfrac{1}{z}\right) = - \arg\left(z\right)\left[2\pi \right]
  • \arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg\left(z\right) - \arg\left(z'\right)\left[2\pi \right]
  • Pour tout entier naturel n : \arg\left(z^{n}\right) = n \arg\left(z\right)\left[2\pi \right]
  • z est réel \Leftrightarrow \arg\left(z\right) = 0 \left[2\pi \right] ou \arg\left(z\right) = \pi \left[2\pi \right]
  • z est imaginaire pur \Leftrightarrow \arg\left(z\right) = \dfrac{\pi }{2}\left[2\pi \right] ou \arg\left(z\right) = -\dfrac{\pi }{2}\left[2\pi \right]

Forme trigonométrique et exponentielle

Forme trigonométrique Forme exponentielle

Soit un nombre complexe z non nul d'argument \theta. On peut alors exprimer z sous sa forme trigonométrique :

z = |z| \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right)

Soit un nombre complexe z non nul d'argument \theta. On peut alors exprimer z sous sa forme exponentielle :

z = |z| e^{i\theta}

Interprétation géométrique

Distance

Soient A et B deux points d'affixes respectives z_{A} et z_{B} :

AB = |z_{B} - z_{A}|

Angle

Soient A et B deux points d'affixes respectives z_{A} et z_{B} :

\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AB}\right) = \arg\left(z_{B} - z_{A}\right)

Argument d'un quotient (1)

Soient \overrightarrow{v_{1}} et \overrightarrow{v_{2}} deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z_{1} et z_{2} :

\left(\overrightarrow{v_{1}} ; \overrightarrow{v_{2}}\right) = \arg\left(\dfrac{z_{2}}{z_{1}}\right)

Argument d'un quotient (2)

Soient A, B et C trois points distincts d'affixes respectives z_{A}, z_{B} et z_{C} :

\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) = \arg\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right)

IV

Equation du second degré dans \mathbb{C}

Solutions d'une équation du second degré dans \mathbb{C}

Soit l'équation du second degré az^2+bz+c=0 avec z\in\mathbb{C}, a\in\mathbb{R}^*, b\in\mathbb{R} et c\in\mathbb{R}.

\Delta =b^2-4ac

Les solutions de l'équation sont données dans le tableau suivant :

Valeur de \Delta Nombre et nature des solutions Valeur des solutions
\Delta\gt0 2 solutions réelles z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} ou z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
\Delta=0 1 solution double réelle z_0=\dfrac{-b}{2a}
\Delta\lt0 2 solutions complexes conjuguées z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} ou z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}