Isoler la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe Exercice

z=3-i\left(2-3i\right)

z=3-2i+3i^2

Or, on sait que i^2=-1

Donc on obtient :

z=3-2i-3

z=-2i

z=4-i\left(-3-7i\right)

z=4+3i+7i^2

Or, on sait que i^2=-1

Donc on obtient :

z=4+3i-7

z=-3+3i

z=-4-i\left(5-i\right)

z=-4-5i+i^2

Or, on sait que i^2=-1

Donc on obtient :

z=-4-5i-1

z=-5-5i

z=6-3i\left(-2+5i\right)

z=6+6i-15i^2

Or, on sait que i^2=-1

Donc on obtient :

z=6+6i+15

z=21+6i

z=\left(1-i\right)^2+\left(3+i\right)\left(i-4\right)

z=1-2i+i^2+3i-12+i^2-4i

Or, on sait que i^2=-1

Donc on obtient :

z=1-2i-1+3i-12-1-4i

z=-13-3i

z=\dfrac{3+2i}{-4+i}

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur :

z=\dfrac{\left(3+2i\right)\left(-4-i\right)}{\left(-4+i\right)\left(-4-i\right)}

De plus, on sait que \left(a+ib\right)\left(a-ib\right)=a^2+b^2,on obtient donc :

z=\dfrac{\left(3+2i\right)\left(-4-i\right)}{16+1}

z=\dfrac{-12-3i-8i-2i^2}{17}

Or, on sait que i^2=-1

Donc on obtient :

z=\dfrac{-12-3i-8i+2}{17}

z=\dfrac{-10-11i}{17}

z=\dfrac{1-3i}{4-2i}

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur :

z=\dfrac{\left(1-3i\right)\left(4+2i\right)}{\left(4-2i\right)\left(4+2i\right)}

De plus, on sait que \left(a+ib\right)\left(a-ib\right)=a^2+b^2,on obtient donc :

z=\dfrac{\left(1-3i\right)\left(4+2i\right)}{16+4}

z=\dfrac{4+2i-12i-6i^2}{20}

Or, on sait que i^2=-1

Donc on obtient :

z=\dfrac{4+2i-12i+6}{20}

z=\dfrac{10-10i}{20}

z=\dfrac{1-i}{2}