Quel est l'ensemble des solutions de chacune des équations suivantes dans \mathbb{C} ?
z^2-z+1=0
On considère l'équation suivante :
z^2-z+1=0
Pour résoudre cette équation du second degré, on calcule le discriminant \Delta du trinôme :
\Delta=b^2-4ac=\left(-1\right)^2-4\times1\times1=1-4=-3
\Delta\lt0, l'équation admet donc deux racines complexes conjuguées :
- z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}
- z_2=\overline{z_1}=\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}
S=\left\{ \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i; \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right\}
-z^2+2z-2=0
On considère l'équation suivante :
-z^2+2z-2=0
Pour résoudre cette équation du second degré, on calcule le discriminant \Delta du trinôme :
\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times\left(-1\right)\times\left(-2\right)=-4
\Delta\lt0, l'équation admet donc deux racines complexes conjuguées :
- z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+i\sqrt{4}}{-2}=\dfrac{-2+2i}{-2}=1-i
- z_2=\overline{z_1}=1+i
S=\left\{ 1-i; 1+i\right\}
5z^2-3z+\dfrac{5}{4}=0
On considère l'équation suivante :
5z^2-3z+\dfrac{5}{4}=0
Pour résoudre cette équation du second degré, on calcule le discriminant \Delta du trinôme :
\Delta=b^2-4ac=\left(-3\right)^2-4\times5\times\dfrac{5}{4}=-16
\Delta\lt0, l'équation admet donc deux racines complexes conjuguées :
- z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{3+i\sqrt{16}}{10}=\dfrac{3}{10}+\dfrac{2}{5}i
- z_2=\overline{z_1}=\dfrac{3}{10}-\dfrac{2}{5}i
S=\left\{ \dfrac{3}{10}-\dfrac{2}{5}i; \dfrac{3}{10}+\dfrac{2}{5}i\right\}
3z^2-4z+2=0
On considère l'équation suivante :
3z^2-4z+2=0
Pour résoudre cette équation du second degré, on calcule le discriminant \Delta du trinôme :
\Delta=b^2-4ac=\left(-4\right)^2-4\times3\times2=-8
\Delta\lt0, l'équation admet donc deux racines complexes conjuguées :
- z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{4+i\sqrt{8}}{6}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{\sqrt2}{3}i
- z_2=\overline{z_1}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{\sqrt2}{3}i
S=\left\{ \dfrac{2}{3}-\dfrac{\sqrt2}{3}i; \dfrac{2}{3}+\dfrac{\sqrt2}{3}i\right\}
-2z^2+2z-5=0
On considère l'équation suivante :
-2z^2+2z-5=0
Pour résoudre cette équation du second degré, on calcule le discriminant \Delta du trinôme :
\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times\left(-2\right)\times\left(-5\right)=-36
\Delta\lt0, l'équation admet donc deux racines complexes conjuguées :
- z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+i\sqrt{36}}{-4}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i
- z_2=\overline{z_1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}i
S=\left\{ \dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i;\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}i \right\}
17z^2+5z+\dfrac{1}{2}=0
On considère l'équation suivante :
17z^2+5z+\dfrac{1}{2}=0
Pour résoudre cette équation du second degré, on calcule le discriminant \Delta du trinôme :
\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times\dfrac{1}{2}\times17=-9
\Delta\lt0, l'équation admet donc deux racines complexes conjuguées :
- z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+i\sqrt{9}}{34}=-\dfrac{5}{34}+\dfrac{3}{34}i
- z_2=\overline{z_1}=-\dfrac{5}{34}-\dfrac{3}{34}i
S=\left\{ -\dfrac{5}{34}-\dfrac{3}{34}i;-\dfrac{5}{34}+\dfrac{3}{34}i\right\}
-6z^2+7z-\dfrac{5}{2}=0
On considère l'équation suivante :
-6z^2+7z-\dfrac{5}{2}=0
Pour résoudre cette équation du second degré, on calcule le discriminant \Delta du trinôme :
\Delta=b^2-4ac=7^2-4\times\left(-\dfrac{5}{2}\right)\times\left(-6\right)=-11
\Delta\lt0, l'équation admet donc deux racines complexes conjuguées :
- z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}=\dfrac{-7+i\sqrt{11}}{-12}=\dfrac{7}{12}-\dfrac{\sqrt{11}}{12}i
- z_2=\overline{z_1}=\dfrac{7}{12}+\dfrac{\sqrt{11}}{12}i
S=\left\{ \dfrac{7}{12}-\dfrac{\sqrt{11}}{12}i ;\dfrac{7}{12}+\dfrac{\sqrt{11}}{12}i \right\}