Quel est l'ensemble des solutions de chacune des équations suivantes dans \mathbb{C} ?
3iz-2i=4
Soit z\in \mathbb{C}.
3iz-2i=4
\Leftrightarrow 3iz=4+2i
\Leftrightarrow z=\dfrac{4+2i}{3i}
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur :
3iz-2i=4
\Leftrightarrow z=\dfrac{\left(4+2i\right)\left(-3i\right)}{9}
\Leftrightarrow z=\dfrac{-12i-6i^2}{9}
\Leftrightarrow z=\dfrac{-4i+2}{3}
\Leftrightarrow z=\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}i
S=\left\{\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}i \right\}
5i+2iz=1
Soit z\in \mathbb{C}.
5i+2iz=1
\Leftrightarrow 2iz=1-5i
\Leftrightarrow z=\dfrac{1-5i}{2i}
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur :
-5i+2iz=1
\Leftrightarrow z=\dfrac{\left(1-5i\right)\left(-2i\right)}{4}
\Leftrightarrow z=\dfrac{-2i+10i^2}{4}
\Leftrightarrow z=\dfrac{-2i-10}{4}
\Leftrightarrow z=-\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}i
S=\left\{-\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}i \right\}
-iz+3i=9
Soit z\in \mathbb{C}.
-iz+3i=9
\Leftrightarrow iz=-9+3i
\Leftrightarrow z=\dfrac{-9+3i}{i}
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur :
-iz+3i=9
\Leftrightarrow z=\dfrac{\left(-9+3i\right)\left(-i\right)}{1}
\Leftrightarrow z=9i-3i^2
\Leftrightarrow z=9i+3
S=\left\{9i+3 \right\}
-4iz-12i=8
Soit z\in \mathbb{C}.
-4iz-12i=8
\Leftrightarrow 4iz=-8-12i
\Leftrightarrow z=\dfrac{-8-12i}{4i}
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur :
-4iz-12i=8
\Leftrightarrow z=\dfrac{\left(-8-12i\right)\left(-4i\right)}{16}
\Leftrightarrow z=\dfrac{32i+48i^2}{16}
\Leftrightarrow z=\dfrac{32i-48}{16}
\Leftrightarrow z=-3+2i
S=\left\{-3+2i\right\}
3z-i\overline{z}=2i+4
On pose z=x+iy, avec x et y deux réels. On a alors \overline{z}=x-iy.
3z-i\overline{z}=2i+4
\Leftrightarrow3\left(x+iy\right)-i\left(x-iy\right)=2i+4
\Leftrightarrow3x+3iy-ix+i^2y=2i+4
Et, comme i^2=-1 :
\Leftrightarrow3x+3iy-ix-y-2i-4=0
\Leftrightarrow3x-y-4+i\left(3y-x-2\right)=0
Or un complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. Ainsi :
3z-i\overline{z}=2i+4
\Leftrightarrow\begin{cases} 3x-y-4=0 \cr \cr 3y-x-2=0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 3x-y-4=0 \cr \cr x=3y-2 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 3\left(3y-2\right)-y-4=0 \cr \cr x=3y-2 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 9y-6-y-4=0 \cr \cr x=3y-2 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 8y=10 \cr \cr x=3y-2 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac{5}{4} \cr \cr x=\dfrac{15}{4}-2 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y=\dfrac{5}{4} \cr \cr x=\dfrac{7}{4} \end{cases}
Ainsi :
3z-i\overline{z}=2i+4\Leftrightarrow z=\dfrac{7}{4}+\dfrac{5}{4}i
S=\left\{\dfrac{7}{4}+\dfrac{5}{4}i \right\}
2z+4i\overline{z}=3i-1
On pose z=x+iy. On a alors \overline{z}=x-iy.
2z+4i\overline{z}=3i-1
\Leftrightarrow2\left(x+iy\right)+4i\left(x-iy\right)=3i-1
\Leftrightarrow2x+2iy+4ix-4i^2y=3i-1
Et, comme i^2=-1 :
2z+4i\overline{z}=3i-1
\Leftrightarrow2x+2iy+4ix+4y-3i+1=0
\Leftrightarrow2x+4y+1+i\left(2y+4x-3\right)=0
Or un complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. Ainsi :
2z+4i\overline{z}=3i-1
\Leftrightarrow\begin{cases} 2x+4y+1=0 \cr \cr 2y+4x-3=0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 2x+4y+1=0 \cr \cr x=\dfrac{3-2y}{4} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 2\left(\dfrac{3-2y}{4}\right)+4y+1=0 \cr \cr x=\dfrac{3-2y}{4} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} -y+\dfrac{3}{2}+4y+1=0 \cr \cr x=\dfrac{3-2y}{4} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} 3y=-\dfrac{5}{2} \cr \cr x=\dfrac{3-2y}{4}\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y=-\dfrac{5}{6} \cr \cr x=\dfrac{3-2\left(-\dfrac{5}{6}\right)}{4} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y=-\dfrac{5}{6} \cr \cr x=\dfrac{3+\dfrac{10}{6}}{4} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y=-\dfrac{5}{6} \cr \cr x=\dfrac{\dfrac{28}{6}}{4} \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} y=-\dfrac{5}{6} \cr \cr x=\dfrac{28}{24}=\dfrac{7}{6} \end{cases}
Ainsi :
2z+4i\overline{z}=3i-1\Leftrightarrow z=\dfrac{7}{6}-\dfrac{5}{6}i
S=\left\{\dfrac{7}{6}-\dfrac{5}{6}i \right\}