Déterminer le conjugué d'un nombre complexe Exercice

On écrit le nombre complexe sous forme algébrique pour pouvoir déterminer son conjugué.

z=3i-1

z=-1+3i

On obtient ainsi :

On écrit le nombre complexe sous forme algébrique pour pouvoir déterminer son conjugué.

z=3i\left(2-4i\right)

z=6i-12i^2

Or i^2=-1, on a donc :

z=6i+12

z=12+6i

On obtient ainsi :

On écrit le nombre complexe sous forme algébrique pour pouvoir déterminer son conjugué.

z=2i\left(3i-2\right)

z=6i^2-4i

Or i^2=-1, on a donc :

z=-6-4i

On obtient ainsi :

On écrit le nombre complexe sous forme algébrique pour pouvoir déterminer son conjugué.

z=4i\left(5i-6\right)

z=20i^2-24i

Or i^2=-1, on a donc :

z=-20-24i

On obtient ainsi :

On écrit le nombre complexe sous forme algébrique pour pouvoir déterminer son conjugué.

z=\dfrac{1+i}{2-3i}

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur :

z=\dfrac{\left(1+i\right)\left(2+3i\right)}{\left(2-3i\right)\left(2+3i\right)}

Et, comme \left(a+ib\right)\left(a-ib\right)=a^2+b^2, on obtient :

z=\dfrac{\left(1+i\right)\left(2+3i\right)}{4+9}

z=\dfrac{\left(2+3i+2i+3i^2\right)}{4+9}

Or i^2=-1, on a donc :

z=\dfrac{\left(2+3i+2i-3\right)}{13}

z=\dfrac{-1+5i}{13}

On obtient ainsi :

On écrit le nombre complexe sous forme algébrique pour pouvoir déterminer son conjugué.

z=\dfrac{-2+3i}{4+i}

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur :

z=\dfrac{\left(-2+3i\right)\left(4-i\right)}{\left(4+i\right)\left(4-i\right)}

Et, comme \left(a+ib\right)\left(a-ib\right)=a^2+b^2, on obtient :

z=\dfrac{\left(-2+3i\right)\left(4-i\right)}{16+1}

z=\dfrac{\left(-8+2i+12i-3i^2\right)}{16+1}

Or i^2=-1, on a donc :

z=\dfrac{\left(-8+2i+12i+3\right)}{17}

z=\dfrac{-5+14i}{17}

On obtient ainsi :

On écrit le nombre complexe sous forme algébrique pour pouvoir déterminer son conjugué.

z=\dfrac{-1-6i}{5-i}

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur :

z=\dfrac{\left(-1-6i\right)\left(5+i\right)}{\left(5-i\right)\left(5+i\right)}

Et, comme \left(a+ib\right)\left(a-ib\right)=a^2+b^2, on obtient :

z=\dfrac{\left(-1-6i\right)\left(5+i\right)}{\left(5-i\right)\left(5+i\right)}

z=\dfrac{\left(-5-i-30i-6i^2\right)}{25+1}

Or i^2=-1, on a donc :

z=\dfrac{\left(-5-i-30i+6\right)}{26}

z=\dfrac{1-31i}{26}

On obtient ainsi :