Sommaire
1Réciter le cours 2Calculer \left( z_B-z_A \right) 3Déterminer \left| z_B-z_A \right| 4Conclure sur la longueur ABGrâce aux nombres complexes, on peut déterminer des angles et des longueurs et donc résoudre des problèmes géométriques.
Soient A et B, deux point d'affixes respectives z_A = 1+i et z_B = 2-3i. Calculer AB.
Réciter le cours
On rappelle que AB = \left| z_B-z_A \right|.
On sait que :
AB = \left| z_B-z_A \right|
Calculer \left( z_B-z_A \right)
On écrit z_B -z_A sous sa forme algébrique afin d'en déterminer sa partie réelle et sa partie imaginaire.
Or, on a :
z_B-z_A = 2-3i-\left(1+i\right)
z_B-z_A = 2-3i-1-i
Donc :
z_B-z_A = 1-4i
Déterminer \left| z_B-z_A \right|
On calcule \left| z_B-z_A \right| en utilisant la forme algébrique du complexe.
On en déduit que :
\left| z_B -z_A \right| = \left| 1-4i \right|
\left| z_B -z_A \right| = \sqrt{1^2+\left(-4\right)^2}
\left| z_B -z_A \right| = \sqrt{17}
Conclure sur la longueur AB
On conclut en donnant la valeur de la longueur AB.
On obtient :
AB = \sqrt{17}
Le calcul de la longueur OA est un cas particulier du calcul de la longueur AB.
On a alors directement OA=\left| z_A \right|.