Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune.
Le dessin ci-dessous en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD'D, DD'C'C et OAB'B sont des rectangles.
Le plan de face (OBD) est muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, DD′=10, sa longueur OD est de 20 mètres.
Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.
Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction f
définie sur l'intervalle [0; 20] par f\left(x\right)=\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-3x+7.
On note f' la fonction dérivée de la fonction f et \mathscr{C} la courbe représentative de la fonction f dans le repère (O, I, J).
Quelle proposition montre que pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0; 20], on a f'\left(x\right)=\ln\left(x+1\right)-2 ?
On a pour tout x\in\left[0;20\right] ; f\left(x\right)=\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right)-3x+7.
On note u et v deux fonctions définie sur \left[0;20\right] par u\left(x\right)=x+1 et v\left(x\right)=-3x+7.
On a donc pour tout x\in\left[0;20\right] ; f\left(x\right)=u\left(x\right)\ln\left(u\left(x\right)\right)+v\left(x\right).
La fonction f est bien dérivable sur \left[0;20\right] comme somme et composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.
On a donc pour tout x\in\left[0;20\right] ;
f'\left(x\right)=u'\left(x\right)\ln\left(u\left(x\right)\right)+u\left(x\right)\cfrac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}+v'\left(x\right)
f'\left(x\right)=\ln\left(x+1\right)+\left(x+1\right)\times\cfrac{1}{x+1}-3
f'\left(x\right)=\ln\left(x+1\right)+1-3
f'\left(x\right)=\ln\left(x+1\right)-2
- On a donc montré que pour tout x\in\left[0;20\right] ; f'\left(x\right)=\ln\left(x+1\right)-2.
Dans quelle proposition en déduit-on les variations de f sur l'intervalle [0; 20] ?
On cherche le signe de la dérivée de f pour trouver ses variations sur [0;20].
f'\left(x\right) \gt 0
\Leftrightarrow \ln\left(x+1\right)-2 \gt 0
\Leftrightarrow \ln\left(x+1\right) \gt 2
\Leftrightarrow x+1 \gt e^2 (par croissance de la fonction exponentielle)
\Leftrightarrow x \gt e^2-1
On a donc :
f'\left(x\right) \gt 0 \Leftrightarrow x \gt e^2-1
Et avec le même raisonnement f'\left(x\right) \lt 0 \Leftrightarrow x \lt e^2-1.
De plus, la dérivée f' s'annule pour x=e^2-1.
On en déduit donc la tableau de variations de f suivant avec :
f\left(0\right)=7\\f\left(e^2-1\right)=e^2\ln\left(e^2\right)-3\left(e^2-1\right)+7=2e^2-3e^2+10=-e^2+10\approx2{,}61\\f\left(20\right)\approx 10{,}94
Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathscr{C} au point d'abscisse 0 ?
La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point B.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathscr{C} au point d'abscisse 0 est donnée par la valeur de f'\left(0\right).
Or :
f'\left(0\right)=1\ln\left(1\right)-2=-2
La coefficient directeur de la tangente à la courbe \mathscr{C} vaut donc -2.
On admet que la fonction g définie sur l'intervalle [0; 20] par g\left(x\right)=\dfrac{1}{2}\left(x+1\right)^2\ln\left(x+1\right)-\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x a pour dérivée la fonction g' définie sur l'intervalle [0; 20] par g'\left(x\right)=\left(x+1\right)\ln\left(x+1\right).
Dans quelle proposition détermine-t-on une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0; 20] ?
D'après l'énoncé, on déduit que la fonction g est une primitive sur [0;20] de la fonction x\longmapsto \left(x+1\right)\ln\left(x+1\right).
De plus, une primitive sur [0;20] de la fonction x\longmapsto -3x+7 est x \longmapsto -\cfrac{3}{2}x^2+7x.
On en déduit donc qu'une primitive sur [0;20] de f notée F est donnée par :
F\left(x\right)=g\left(x\right)-\cfrac{3}{2}x^2+7x
F\left(x\right)=\cfrac{1}{2}\left(x+1\right)^2\ln\left(x+1\right)-\cfrac{1}{4}x^2-\cfrac{1}{2}x-\cfrac{3}{2}x^2+7x
Après simplification, on obtient :
- F\left(x\right)=\cfrac{1}{2}\left(x+1\right)^2\ln\left(x+1\right)-\cfrac{7}{4}x^2+\cfrac{13}{2}x
Les trois questions de cette partie sont indépendantes.
Les propositions suivantes sont-elles exactes ?
P_1 : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
P_2 : L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu'en C.
D'après la question 2) de la partie 1, on sait que le point le plus haut est : f\left(20\right)\approx 10{,}94 et le point le plus bas et f\left(e^2-1\right)\approx2{,}61. La différence entre le point le plus haut et le point le plus bas vaut donc :
f\left(20\right)-f\left(e^2-1\right)\approx 10{,}94-2{,}61\approx 8{,}33
Or, 8{,}33 \gt 8
La proposition P_1 est donc vraie.
D'après la question 3) l'inclinaison au point B est \left| f'\left(0\right) \right|=\left| -2\right|=2. De plus, l'inclinaison au point C est donnée par : \left| f'\left(20\right) \right|=\left|\ln\left(21\right)-2\right|=\ln\left(21\right)-2\approx 1{,}04.
L'inclinaison de la piste est donc presque deux fois plus grande en B qu'en C.
P_2 est donc également vraie.
- P_1 est vraie.
- P_2 est vraie.
On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.
Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points B_k\left(k;f\left(k\right)\right) pour k variant de 0 à 20.
Ainsi, B_0=B.
On décide d'approcher l'arc de la courbe \mathscr{C} allant de B_k à B_{k+1} par le segment \left[B_kB_{k+1}\right].
Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type B_kB_{k+1}B'_{k+1}B'_k (voir figure).
Quelle proposition montre que pour tout entier k variant de 0 à 19, B_kB_{k+1}=\sqrt{1+\left(f\left(k+1\right)-f\left(k\right)\right)^2} ?
On se place dans un repère orthonormé \left(O,I, I\right) du plan de face, pour tout entier 0\leq k\leq 19, on a :
B_kB_{k+1}^2=\left(\left(k+1\right)-k\right)^2+\left(f\left(k+1\right)-f\left(k\right)\right)^2
B_kB_{k+1}^2=1+\left(f\left(k+1\right)-f\left(k\right)\right)^2
Or, 1+\left(f\left(k+1\right)-f\left(k\right)\right)^2 \gt 0 et B_kB_{k+1} >0
Donc :
B_kB_{k+1}=\sqrt{1+\left(f\left(k+1\right)-f\left(k\right)\right)^2}
On a donc montré que pour tout entier k variant de 0 à 19 :
B_kB_{k+1}=\sqrt{1+\left(f\left(k+1\right)-f\left(k\right)\right)^2}.
Dans quelle proposition a-t-on complété l'algorithme suivant afin qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante ?
D'après l'énoncé du problème, on sait que la largeur du module est de 10 mètres, donc B_kB'_{k}=10. De plus, d'après la question précédente la largeur de chaque rectangle est de B_kB_{k+1} mètres. La surface de chaque rectangle du type B_kB_{k+1}B'_{k+1}B'_{k} est donc donnée par la formule 10\sqrt{1+\left(f\left(k+1\right)-f\left(k\right)\right)^2}, exprimée en m^2.
On en déduit donc l'algorithme suivant qui permet d'afficher une estimation de l'aire de la partie roulante.
Traitement :
S prend pour valeur 0
Pour K variant de 0 à 19
S prend pour valeur S+10\sqrt{1+\left(f\left(k+1\right)-f\left(k\right)\right)^2}
Fin Pour
Sortie :
Afficher S