Soit f la fonction définie sur ]0;14] par f\left(x\right)=2-\ln\left(\dfrac{x}{2}\right).
La courbe représentative \mathscr{C}_f de la fonction f est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous :
À tout point M appartenant à \mathscr{C}_f, on associe le point P projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l'axe des ordonnées.
L'aire du rectangle OPMQ est-elle constante quelque soit la position du point M sur \mathscr{C}_f ?
L'aire du rectangle n'est pas constante pour n'importe quelle position du point M sur \mathscr{C}_f, car en effet :
On se place dans un repère orthogonal d'origine O, on sait d'après l'énoncé que le point P est le projeté orthogonal du point M sur l'axe des abscisses et que le point Q est la projeté orthogonal du point M sur l'axe des ordonnées. On a donc, pour tout x\in\left]0;14\right] :
M\left(x;f\left(x\right)\right) ; P\left(x;0\right) et Q\left(0;f\left(x\right)\right)
On peut à présent trouver les longueurs OP et OQ.
OP=x et OQ=f\left(x\right)
L'aire du rectangle est égale à OB\times OQ=xf\left(x\right) unité d'aire.
On note \mathscr{A} la fonction représentant l'aire du rectangle OPMQ sur ]0;14].
Prenons par exemple x=1.
\mathscr{A}\left(1\right)=1f\left(1\right)=2+\ln\left(2\right), donc pour x=1, l'aire de OPMQ est de 2+\ln\left(2\right) unité d'aire.
Et pour x=2 :
\mathscr{A}\left(2\right)=2f\left(2\right)=4, donc pour x=2, l'aire de OPMQ est de 4 unités d'aire.
Or, 4\neq \ln\left(2\right)+2
- L'aire du rectangle OPMQ n'est donc pas constante quelle que soit la position du point M sur la courbe.
L'aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ?
Soit \mathscr{A} la fonction définie sur \left]0;14\right], par \mathscr{A}\left(x\right)=xf\left(x\right), la fonction \mathscr{A} représente l'aire du rectangle OPMQ comme précédemment.
Cette fonction est dérivable sur \left]0;14\right] par produit de deux fonctions dérivables sur cette intervalle.
On obtient donc pour tout x\in\left]0;14\right] ;
\mathscr{A}'\left(x\right)=f\left(x\right)+xf'\left(x\right)= 2-\ln\left(\cfrac{x}{2}\right) +x\times \left(-\cfrac{1}{x}\right)
Donc :
\mathscr{A}'\left(x\right)= 1-\ln\left(\cfrac{x}{2}\right)
On a donc :
\mathscr{A}'\left(x\right)\geq0
\Leftrightarrow 1-\ln\left(\cfrac{x}{2}\right)\geq0
\Leftrightarrow \ln\left(\cfrac{x}{2}\right)\leq1
\Leftrightarrow e^{ \ln\left(\frac{x}{2}\right)}\leq e^1 \qquad \text{ Par croissance de l'exponentielle}\\\Leftrightarrow \cfrac{x}{2}\leq e\\\Leftrightarrow x\leq2e
On obtient également \mathscr{A}'\left(x\right) \lt 0 \Leftrightarrow x \gt 2e.
La fonction \mathscr{A} est donc strictement croissante sur \left]0;2e\right] et strictement décroissante sur \left]2e;14\right], la dérivée s'annule pour x=2e, la fonction \mathscr{A} possède donc un maximum sur \left]0;14\right] atteint pour x=2e.
- L'aire du rectangle OPMQ peut donc être maximale en la valeur x=2e, et son maximum vaut :
\mathscr{A}\left(2e\right)=2e\left(2-\ln\left(\dfrac{2e}{2}\right)\right)=2e\left(2-1\right)=2e
- L'aire sera donc maximale si M\left(2e;f\left(2e\right)\right), c'est-à-dire si M\left(2e;1\right).