On définit la fonction f par :
f(x) = x^2+2x-1+\dfrac{1}{x^2+2}
On donne le tableau de convergence de f en +\infty.
Quelles sont les valeurs qui doivent remplacer (1), (2) et (3) dans le tableau ?
(1) : On s'intéresse à la limite en +\infty de la fonction x\rightarrow x^2+2x-1.
Cette fonction est définie en tant que fonction polynômiale de terme du second degré. La parabole de ce polynôme est orientée vers le haut car le coefficient devant le terme au carré est positif. On en déduit :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x^2+2x-1 = +\infty
On remplace (1) par +\infty.
(2) : On s'intéresse à la limite en +\infty de la fonction x\rightarrow \dfrac{1}{x^2+2}.
Cette fonction est définie en tant que fonction inverse composée et :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x^2+2 = +\infty en tant que fonction polynômiale de terme de plus haut degré x^2 ;
- la fonction inverse est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x} = 0^+.
Par composition de limite, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x^2+2} = 0^+ .
On remplace (2) par 0^+.
(3) : f est définie comme une somme d'une fonction qui tend vers +\infty et une fonction qui tend vers 0^+ quand x tend vers +\infty.
Il n'y a donc pas de forme indéterminée et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty.
On remplace (3) par +\infty.
Ainsi :
On remplace (1) par +\infty.
On remplace (2) par 0^+.
On remplace (3) par +\infty.
On définit la fonction f par :
f(x) = \sqrt{2x^3-1}+2x^2-\dfrac{1}{x}
On donne le tableau de convergence de f en +\infty.
Quelles sont les valeurs qui doivent remplacer (1) et (2) dans le tableau ?
(1) : On s'intéresse à la limite en +\infty de la fonction x\rightarrow \sqrt{2x^3-1}.
Cette fonction est définie en tant que fonction racine composée et :
- Pour déterminer la limite d'un polynôme on factorise par le terme de plus haut degré :
2x^3-1=x^3(2-\dfrac{1}{x^3}
Comme \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} x^3=+\infty et \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} 2-\dfrac{1}{x^3}=2, on en déduit par produit de limites que :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} 2x^3-1 = +\infty - La fonction racine est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty.
Par composition de limite, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{2x^3-3} = +\infty
On remplace (1) par +\infty.
(2) : f est définie comme une somme de deux fonctions qui tendent vers +\infty et une fonction qui tend vers 0^+ quand x tend vers +\infty.
Il n'y a donc pas de forme indéterminée et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty.
On remplace (2) par +\infty.
Ainsi :
On remplace (1) par +\infty.
On remplace (2) par +\infty.
On définit la fonction f par :
f(x) = (x-1)^2-2x+1
On donne le tableau de convergence de f en -\infty.
Quelles sont les valeurs qui doivent remplacer (1), (2) et (3) dans le tableau ?
(1) : On s'intéresse à la limite en -\infty de la fonction x\rightarrow (x-1)^2.
Cette fonction est définie en tant que fonction carré composée et :
- \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} x-1 = -\infty en tant que fonction affine croissante ;
- La fonction carré est définie en -\infty et \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} x^2 = +\infty.
Par composition de limite, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} (x-1)^2 = +\infty
On remplace (1) par +\infty.
(2) : On s'intéresse à la limite en -\infty de la fonction x\rightarrow -2x+1.
Cette fonction est définie en tant que fonction affine décroissante sur \mathbb{R}.
Donc \lim\limits_{x\rightarrow -\infty } -2x+1 = +\infty .
On remplace (2) par +\infty.
(3) : f est définie comme une somme de deux fonctions qui tendent vers +\infty quand x tend vers -\infty. Il n'y a donc pas de forme indéterminée et \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = +\infty.
On remplace (3) par +\infty.
Ainsi :
On remplace (1) par +\infty.
On remplace (2) par +\infty.
On remplace (3) par +\infty.
On définit la fonction f par :
f(x) = \exp(x^2+2)+\ln(3x+1)
On donne le tableau de convergence de f en +\infty.
Quelles sont les valeurs qui doivent remplacer (1), (2) et (3) dans le tableau ?
(1) : On s'intéresse à la limite en +\infty de la fonction x\rightarrow \exp(x^2+2).
Cette fonction est définie en tant que fonction exponentielle composée et :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x^2+2 = +\infty en tant que fonction polynômiale du second degré dont la parabole est orientée vers le haut ;
- la fonction exponentielle est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \exp(x) = +\infty.
Par composition de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \exp(x^2+2)= +\infty
On remplace (1) par +\infty.
(2) : On s'intéresse à la limite en +\infty de la fonction x\rightarrow \ln(3x+1).
Cette fonction est définie en tant que fonction logarithme composée et :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} 3x+1 = +\infty en tant que fonction affine croissante ;
- la fonction logarithme est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \ln(x) = +\infty.
Par composition de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \ln(3x+1)= +\infty
On remplace (2) par +\infty.
(3) : f est définie comme une somme de deux fonctions qui tendent vers +\infty quand x tend vers +\infty.
Il n'y a donc pas de forme indéterminée et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty.
On remplace (3) par +\infty.
Ainsi :
On remplace (1) par +\infty.
On remplace (2) par +\infty.
On remplace (3) par +\infty.
On définit la fonction f par :
f(x) = \sqrt{x}-\sqrt{x+1}
On donne le tableau de convergence de f en +\infty.
Quelles sont les valeurs qui doivent remplacer (1) et (2) dans le tableau ?
(1) : On s'intéresse à la limite en +\infty de la fonction x\rightarrow -\sqrt(x+1).
Cette fonction est définie en tant que produit d'une fonction racine composée et d'une fonction constante négative :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x+1 = +\infty en tant que fonction affine croissante ;
- la fonction racine est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt(x) = +\infty.
Par composition de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt(x+1)= +\infty
Par produit de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -\sqrt(x+1)= -\infty
On remplace (1) par -\infty.
(2) : f est définie comme une somme d'une fonction qui tend vers +\infty et d'une fonction qui tend vers -\infty quand x tend vers +\infty.
Il y a donc une forme indéterminée.
On remplace (2) par FI.
Pour lever cette forme indéterminée, on peut faire apparaître la quantité conjuguée :
f(x) = (\sqrt{x} - \sqrt{x+1} ) \times \dfrac{\sqrt{x} +\sqrt{x+1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} = \dfrac{x-(x+1)}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} = -\dfrac{1}{\sqrt{x} +\sqrt{x+1} }
Sous cette forme, f n'est plus une forme indéterminée et on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x) = 0^-
Ainsi :
On remplace (1) par -\infty.
On remplace (2) par FI.