On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{1}{3x-5} +\sqrt{x^2+1}(3x-1)^2
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) ?
f est définie en tant que somme et produits de fonctions usuelles composées. On détermine la limite des différentes parties qui composent f afin d'en déduire la limite de f.
x\rightarrow \dfrac{1}{3x-5} est une fonction inverse composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } 3x-5= +\infty en tant que fonction affine croissante.
- La fonction inverse est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{1}{x} = 0 .
Par composition de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{1}{3x-5} = 0
x\rightarrow \sqrt{x^2+1} est une fonction racine composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } x^2+1= +\infty en tant que fonction polynômiale de terme de plus haut degré x^2.
- La fonction racine est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \sqrt{x} = +\infty .
Par composition de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \sqrt{x^2+1} = +\infty
x\rightarrow (3x-1)^2 est une fonction carré composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } 3x-1= +\infty en tant que fonction affine croissante.
- La fonction carré est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } x^2 = +\infty .
Par composition de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } (3x-1)^2 = +\infty
Ainsi, il n'y a pas de forme indéterminée et, par somme et produit de limites, on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) = +\infty
On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{1}{4x^2-2} +\sqrt{2x^2+1}(x-1)^2
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f(x) ?
f est définie en tant que somme et produits de fonctions usuelles composées. On détermine la limite des différentes parties qui composent f afin d'en déduire la limite de f.
x\rightarrow \dfrac{1}{4x^2-2} est une fonction inverse composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow -\infty } 4x^2 - 2 = +\infty en tant que fonction polynômiale de terme de plus haut degré 4x^2.
- La fonction inverse est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{1}{x} = 0 .
Par composition de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } \dfrac{1}{4x^2-2} = 0
x\rightarrow \sqrt{2x^2+1} est une fonction racine composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow -\infty } 2x^2+1= +\infty en tant que fonction polynômiale de terme de plus haut degré 2x^2.
- La fonction racine est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \sqrt{x} = +\infty .
Par composition de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } \sqrt{2x^2+1} = +\infty
x\rightarrow (x-1)^2 est une fonction carré composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow -\infty } x-1= -\infty en tant que fonction affine croissante.
- La fonction carré est définie en -\infty et \lim\limits_{x\rightarrow -\infty } x^2 = +\infty .
Par composition de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } (x-1)^2 = +\infty
Ainsi, il n'y a pas de forme indéterminée et, par somme et produit de limites, on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f(x) = +\infty
On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{1}{x^2-4} +\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-3}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow 2^+} f(x) ?
f est définie en tant que somme et produits de fonctions usuelles composées. On détermine la limite des différentes parties qui composent f afin d'en déduire la limite de f.
x\rightarrow \dfrac{1}{x^2-4} est une fonction inverse composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow 2^+ } x^2-4 = 0^+ en tant que fonction polynômiale.
- La fonction inverse est définie en 0^+ et : \lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty .
Par composition de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow 2^+} \dfrac{1}{x^2-4} = +\infty
x\rightarrow \sqrt{x-2} est une fonction racine composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow 2^+} x-2= 0^+ en tant que fonction affine.
- La fonction racine est définie en 0^+ et \lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \sqrt{x} = 0.
Par composition de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow 2^+ } \sqrt{x-2} = 0
x\rightarrow \dfrac{1}{x-3} est une fonction inverse composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow 2^+} x-3= -1 en tant que fonction affine.
- La fonction inverse est définie en -1 et \lim\limits_{x\rightarrow -1} \dfrac{1}{x}= -1.
Par composition de limites, on obtient :
\lim\limits_{x \to 2^{+}}\dfrac{1}{x-3}=-1
Ainsi, il n'y a pas de forme indéterminée et, par somme et produit de limites, on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow 2^+} f(x) = +\infty
On définit la fonction f par :
f(x) = \exp(-x^2+2)\sqrt{\dfrac{1}{x}}+(\dfrac{1}{x}+1)^2
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) ?
f est définie en tant que somme et produits de fonctions usuelles composées. On détermine la limite des différentes parties qui composent f afin d'en déduire la limite de f.
x\rightarrow \exp(-x^2+2) est une fonction exponentielle composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } -x^2+2 = -\infty en tant que fonction polynômiale de terme de plus haut degré -x^2.
- La fonction exponentielle est définie en -\infty et \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \exp(x) = 0.
Par composition de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \exp(-x^2+2) = 0
x\rightarrow \sqrt{\dfrac{1}{x}} est une fonction racine composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x}= 0^+ en tant que fonction inverse.
- La fonction racine est définie en 0^+ et \lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \sqrt{x} = 0.
Par composition de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \sqrt{\dfrac{1}{x}} = 0
x\rightarrow (\dfrac{1}{x}+1)^2 est une fonction carré composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x}+1= 1
- La fonction carré est définie en 1 et \lim\limits_{x\rightarrow 1} x^2= 1.
Par composition de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} (\dfrac{1}{x}+1)^2 = 1
Ainsi, il n'y a pas de forme indéterminée et, par somme et produit de limites, on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = 1
On définit la fonction f par :
f(x) = (-x+2)^2\exp(x^2+3x)+\dfrac{1}{2x+5}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) ?
f est définie en tant que somme et produits de fonctions usuelles composées. On détermine la limite des différentes parties qui composent f afin d'en déduire la limite de f.
x\rightarrow \exp(x^2+3x) est une fonction exponentielle composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } x^2+3x = +\infty en tant que fonction polynômiale de terme de plus haut degré x^2.
- La fonction exponentielle est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \exp(x) = +\infty.
Par composition de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \exp(x^2+3x) = +\infty
x\rightarrow (-x+2)^2 est une fonction carré composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -x+2= -\infty en tant que fonction affine décroissante.
- La fonction carré est définie en -\infty et \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} x^2= +\infty.
Par composition de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} (-x+2)^2 = +\infty
x\rightarrow \dfrac{1}{2x+5} est une fonction inverse composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} 2x+5 = +\infty en tant que fonction affine croissante.
- La fonction inverse est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x}= 0.
Par composition de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{2x+5} = 0
Ainsi, il n'y a pas de forme indéterminée et, par somme et produit de limites, on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty