On définit la fonction f par f(x) = \sqrt{x^2+3x-3} + \dfrac{1}{x+3} .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x) ?
f est définie en tant que somme de fonctions.
On étudie la limite de chaque partie de la somme afin de déterminer la limite de f.
x\rightarrow \sqrt{x^2+3x-3} est une fonction racine composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} x^2+3x-3 = +\infty (fonction polynômiale dont le terme de plus haut degré est x^2).
- La fonction racine est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \sqrt{x} = +\infty.
Par composition de limite :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \sqrt{x^2+3x-3} = +\infty
x\rightarrow \dfrac{1}{x+3} est une fonction inverse composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} x+3 = +\infty (fonction affine croissante).
- La fonction inverse est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \dfrac{1}{x} = 0.
Par composition de limite :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \dfrac{1}{x+3} = 0
Il n'y a pas de forme indéterminée et on peut donc obtenir directement la limite de f par somme de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) = +\infty
On définit la fonction f par f(x) = \sqrt{2x^2-2} + \sqrt{\dfrac{1}{x}} .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x) ?
f est définie en tant que somme de fonctions.
On étudie la limite de chaque partie de la somme afin de déterminer la limite de f.
x\rightarrow \sqrt{2x^2-2} est une fonction racine composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} 2x^2-2 = +\infty (fonction polynômiale dont le terme de plus haut degré est 2x^2).
- La fonction racine est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \sqrt{x} = +\infty.
Par composition de limite :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \sqrt{2x^2-2} = +\infty
x\rightarrow \sqrt{\dfrac{1}{x}} est une fonction racine composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \dfrac{1}{x}= 0^+ (fonction affine croissante).
- La fonction inverse est définie en 0^+ et \lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \sqrt{x} = 0.
Par composition de limite :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \sqrt{\dfrac{1}{x}} = 0
Il n'y a pas de forme indéterminée et on peut donc obtenir directement la limite de f par somme de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) = +\infty
On définit la fonction f par f(x) = 3x^2-4x+1+ \dfrac{1}{x^2-1} .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow 1^+} f(x) ?
f est définie en tant que somme de fonctions.
On étudie la limite de chaque partie de la somme afin de déterminer la limite de f.
x\rightarrow 3x^2-4x+1 est une fonction polynomiale qui est donc définie sur \mathbb{R}.
Ainsi :
\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} 3x^2-4x+1 = 3 -4 +1 = 0
x\rightarrow \dfrac{1}{x^2-1} est une fonction inverse composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow 1^+} x^2-1 = 0^+.
- La fonction inverse est définie en 0^+ et \lim\limits_{x\rightarrow 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty.
Par composition de limite :
\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} \dfrac{1}{x^2-1} = +\infty
Il n'y a pas de forme indéterminée et on peut donc obtenir directement la limite de f par somme de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} f(x) = +\infty
On définit la fonction f par f(x) =\exp(-x) -x^4+2x-1 .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) ?
f est définie en tant que somme de fonctions.
On étudie la limite de chaque partie de la somme afin de déterminer la limite de f.
x\rightarrow -x^4+2x-1 est une fonction polynomiale dont la limite en +\infty dépend seulement du terme de plus haut degré, ici -x^4.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} -x^4=-\infty , on a \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -x^4+2x-1 = -\infty .
x\rightarrow \exp{-x} est une fonction exponentielle composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -x = -\infty.
- La fonction exponentielle est définie en -\infty et \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \exp(x) = 0.
Par composition de limite :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \exp(-x) = 0
Il n'y a pas de forme indéterminée et on peut donc obtenir directement la limite de f par somme de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = -\infty
On définit la fonction f par f(x) =\sqrt{e^x}-\dfrac{1}{2x^2-3x} .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) ?
f est définie en tant que somme de fonctions.
On étudie la limite de chaque partie de la somme afin de déterminer la limite de f.
x\rightarrow \sqrt{\exp(x)} est une fonction racine composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \exp(x) = +\infty.
- La fonction racine est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt(x) = +\infty.
Par composition de limite :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{\exp(x)} = +\infty
x\rightarrow \dfrac{1}{2x^2-3x} est une fonction inverse composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} 2x^2-3x = +\infty, en tant que fonction polynômiale de terme de plus haut degré 2x^2.
- La fonction inverse est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x} = 0.
Par composition de limite :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{2x^2-3x} = 0
Il n'y a pas de forme indéterminée et on peut donc obtenir directement la limite de f par somme de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty