On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2-2}}{1/(2x^2-3)}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) ?
f est définie en tant que quotient de fonctions.
On étudie la limite de chaque partie du quotient afin d'en déduire la limite de f.
x\rightarrow \sqrt{x^2-2} est une fonction racine composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } x^2-2 = +\infty en tant que fonction polynômiale dont le terme de plus haut degré est x^2.
- La fonction racine est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \sqrt{x} = +\infty .
Par composition de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \sqrt{x^2-2} = +\infty
x\rightarrow \dfrac{1}{2x^2-3} est une fonction inverse composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } 2x^2-3 = +\infty en tant que fonction polynômiale dont le terme de plus haut degré est 2x^2.
- La fonction inverse est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \dfrac{1}{x} = 0.
Par composition de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \dfrac{1}{2x^2-3} = 0^+
Finalement, il n'y a pas de forme indéterminée et on trouve directement :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) = +\infty
On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{1/(2x+4)}{x^5-3x+1}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f(x) ?
f est définie en tant que quotient de fonctions.
On étudie la limite de chaque partie du quotient afin d'en déduire la limite de f.
x\rightarrow \dfrac{1}{2x+4} est une fonction inverse composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow - \infty } 2x+4 = -\infty en tant que fonction affine croissante.
- La fonction inverse est définie en -\infty et \lim\limits_{x\rightarrow - \infty } \dfrac{1}{x} = 0.
Par composition de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } \dfrac{1}{2x+4} = 0
x\rightarrow x^5-3x+1 est une fonction polynômiale dont la limite en -\infty dépend donc seulement du terme de plus haut degré, ici x^5.
Comme l'exposant est impair :
\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } x^5 = -\infty
Donc :
\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } x^5-3x+1 = -\infty
Finalement, il n'y a pas de forme indéterminée et on trouve directement :
\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } f(x) = 0
On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{x} + 1}}{\ln(2x^2-1)}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) ?
f est définie en tant que quotient de fonctions.
On étudie la limite de chaque partie du quotient afin d'en déduire la limite de f.
x\rightarrow \sqrt{\dfrac{1}{x}+1} est une fonction racine composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \dfrac{1}{x}+1 = 1 en tant que somme de limites.
- La fonction racine est définie en 1 et \lim\limits_{x\rightarrow 1} \sqrt{x} = 1.
Par composition de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \sqrt{\dfrac{1}{x}+1} = 1
x\rightarrow \ln(2x^2-4) est une fonction logarithme composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty }2x^2-4 = +\infty en tant que fonction polynômiale.
- La fonction logarithme est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \ln(x) = +\infty.
Par composition de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \ln(2x^2-4) = +\infty
Finalement, il n'y a pas de forme indéterminée et on trouve directement :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) = 0
On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{(-2x+3)^2}{\sqrt{\dfrac{1}{2x-3} +3}}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) ?
f est définie en tant que quotient de fonctions.
On étudie la limite de chaque partie du quotient afin d'en déduire la limite de f.
x\rightarrow (-2x+3)^2 est une fonction carrée composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty }-2x+3 = -\infty en tant que fonction affine décroissante.
- La fonction carré est définie en -\infty et \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} x^2 = +\infty.
Par composition de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } (-2x+3)^2 = +\infty
x\rightarrow \sqrt{\dfrac{1}{2x-3}+3} est une fonction racine composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \dfrac{1}{2x-3}+3 = 3 en tant que somme de limites, et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{2x-3} = 0 par composition de limites.
- La fonction racine est définie en 3 et \lim\limits_{x\rightarrow 3} \sqrt{x} = \sqrt{3}.
Par composition de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \sqrt{\dfrac{1}{2x-3}+3} = \sqrt{3}
Finalement, il n'y a pas de forme indéterminée et on trouve directement :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) = +\infty
On définit la fonction f par :
f(x) = \dfrac{\exp(x^2-4)}{1/(3x-4)}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) ?
f est définie en tant que quotient de fonctions. On étudie la limite de chaque partie du quotient afin d'en déduire la limite de f.
x\rightarrow \exp(x^2-4) est une fonction exponentielle composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } x^2-4 = +\infty en tant que fonction polynômiale dont le terme de plus haut degré est x^2.
- La fonction exponentielle est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \exp(x) = +\infty .
Par composition de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \exp(x^2-4) = +\infty
x\rightarrow \dfrac{1}{3x-4} est une fonction inverse composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } 3x-4 = +\infty en tant que fonction affine croissante.
- La fonction inverse est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \dfrac{1}{x} = 0.
Par composition de limites, on a :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \dfrac{1}{3x-4} = 0^+
Finalement, il n'y a pas de forme indéterminée et on trouve directement :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } f(x) = +\infty