On définit la fonction f comme suit :
f(x) = (2x^2-3x+1) \sqrt{x^2+1}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) ?
f est définie en tant que produits de deux fonctions.
On étudie la limite des deux parties du produit afin de déterminer la valeur de la limite de f.
x\rightarrow 2x^2-3x+1 est une fonction polynôme. Sa limite en +\infty dépend donc seulement de son terme de plus haut degré, ici 2x^2.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow+\infty} 2x^2 = +\infty , on a \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} 2x^2-3x+1 = +\infty.
x\rightarrow \sqrt{x^2+1} est une fonction racine composée.
On a :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x^2+1 = +\infty
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty
Par composition de limite :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \sqrt{x^2+1} = +\infty
f est un produit de deux fonctions qui tendent vers +\infty quand x \rightarrow +\infty, donc il n'y a pas de forme indéterminée et on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty
On définit la fonction f comme suit :
f(x) = (-3x^2+1) \sqrt{x^3-4}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) ?
f est définie en tant que produits de deux fonctions.
On étudie la limite des deux parties du produit afin de déterminer la valeur de la limite de f.
x\rightarrow-3x^2+1 est une fonction polynôme. Sa limite en +\infty dépend donc seulement de son terme de plus haut degré, ici -3x^2.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow+\infty} -3x^2 = -\infty (on peut voir cette fonction comme le produit de la fonction carré et de la fonction constante égale à -3), on a \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -3x^2+1= -\infty.
x\rightarrow \sqrt{x^3-4} est une fonction racine composée.
On a :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x^3-4 = +\infty (c'est la limite d'une fonction polynôme en +\infty).
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty
Par composition de limite :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \sqrt{x^3-4} = +\infty
f est un produit d'une fonction qui tend vers -\infty et d'une fonction qui tend vers +\infty quand x \rightarrow +\infty, donc il n'y a pas de forme indéterminée et on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = -\infty
On définit la fonction f comme suit :
f(x) = \exp(x^2+1) \sqrt{x+2}
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) ?
f est définie en tant que produits de deux fonctions.
On étudie la limite des deux parties du produit afin de déterminer la valeur de la limite de f.
x\rightarrow \exp(x^2+1) est une fonction exponentielle composée.
On a :
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } x^2+1 = + \infty
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \exp(x)= +\infty
Par composition de limite :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \exp(x^2+1) = +\infty
x\rightarrow \sqrt{x+1} est une fonction racine composée.
On a :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} x+1 = +\infty (c'est la limite d'une fonction affine en +\infty).
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty
Par composition de limite :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \sqrt{x+1 } = +\infty
f est un produit de deux fonctions qui tendent vers +\infty quand x \rightarrow +\infty, donc il n'y a pas de forme indéterminée et on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty
On définit la fonction f comme suit :
f(x) = \exp(x-4) \left(\dfrac{1}{x^2+1}\right)
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow -\infty } f(x) ?
f est définie en tant que produits de deux fonctions.
On étudie la limite des deux parties du produit afin de déterminer la valeur de la limite de f.
x\rightarrow \exp(x-4) est une fonction exponentielle composée.
On a :
- \lim\limits_{x\rightarrow - \infty } x-4 = - \infty
- \lim\limits_{x\rightarrow - \infty } \exp(x)= 0
Par composition de limite :
\lim\limits_{x\rightarrow - \infty} \exp(x+4) = 0
x\rightarrow \dfrac{1}{x^2+1} est une fonction inverse composée.
On a :
- \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} x^2+1 = +\infty (c'est la limite d'une fonction polynôme en -\infty).
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x} = 0
Par composition de limite :
\lim\limits_{x\rightarrow - \infty } \dfrac{1}{x^2+1} = 0
f est un produit de deux fonctions qui tendent vers 0 quand x \rightarrow -\infty, donc il n'y a pas de forme indéterminée et on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = 0
On définit la fonction f comme suit :
f(x) = \sqrt{\dfrac{1}{x}} \times \ln\left(\dfrac{1}{x} + 1 \right)
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) ?
f est définie en tant que produits de deux fonctions.
On étudie la limite des deux parties du produit afin de déterminer la valeur de la limite de f.
x\rightarrow \sqrt{\dfrac{1}{x}} est une fonction racine composée.
On a :
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \dfrac{1}{x}= 0
- La fonction racine est définie en 0 et \lim\limits_{x\rightarrow 0} \sqrt{x}= 0 car \sqrt{0} =0.
Par composition de limite :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \sqrt{\dfrac{1}{x}} = 0
x\rightarrow \ln\left(\dfrac{1}{x}+1\right) est une fonction logarithme composée.
On a :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x}+1 = 1
- La fonction logarithme est définie en 1 et \lim\limits_{x\rightarrow 1} \ln(x) = 0 car \ln(1)=0.
Par composition de limite :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \ln\left(\dfrac{1}{x}+1\right) = 0
f est un produit de deux fonctions qui tendent vers 0 quand x \rightarrow -\infty, donc il n'y a pas de forme indéterminée et on a directement :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = 0