Quelle est la limite de \dfrac{\exp(x)}{x^2} ?
On a :
\dfrac{\exp(x)}{x^2} = \dfrac{\exp(x)}{\exp\left( \ln\left( x^2 \right)\right)}
\dfrac{\exp(x)}{x^2} = \dfrac{\exp(x)}{\exp\left( 2 \ln\left( x \right)\right)} car \ln(x^n) = n \ln(x), \forall n, x > 0
\dfrac{\exp(x)}{x^2} = \exp\left( x - 2 \ln\left( x \right) \right) car \dfrac{exp(a)}{\exp(b)} = \exp(a-b), \forall a,b \in \mathbb{R}
En factorisant par x :
\dfrac{\exp(x)}{x^2} = \exp\left( x\left( 1 - 2 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} \right) \right)
D'après les théorèmes de croissance comparée, on sait que :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0
Donc :
\lim\limits_{x \to +\infty} 1 - 2 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} = 1
et
\lim\limits_{x \to +\infty} x\left( 1 - 2 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} \right)= +\infty
On conclut :
\lim\limits_{x \to +\infty} \exp\left( x\left( 1 - 2 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} \right) \right) = +\infty
Donc \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\exp(x)}{x^2} = +\infty .
Quelle est la limite de \dfrac{\exp(x)}{x^{10}} ?
On a :
\dfrac{\exp(x)}{x^{10}} = \dfrac{\exp(x)}{\exp\left( \ln\left( x^{10} \right)\right)}
\dfrac{\exp(x)}{x^{10}} = \dfrac{\exp(x)}{\exp\left( 10 \ln\left( x \right)\right)} car \ln(x^n) = n \ln(x), \forall n, x > 0
\dfrac{\exp(x)}{x^{10}} = \exp\left( x - 10 \ln\left( x \right) \right) car \dfrac{exp(a)}{\exp(b)} = \exp(a-b), \forall a,b \in \mathbb{R}
En factorisant par x :
\dfrac{\exp(x)}{x^{10}} = \exp\left( x\left( 1 - 10 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} \right) \right)
D'après les théorèmes de croissance comparée, on sait que :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0
Donc :
\lim\limits_{x \to +\infty} 1 - 10 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} = 1
et
\lim\limits_{x \to +\infty} x\left( 1 - 10 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} \right)= +\infty
On conclut :
\lim\limits_{x \to +\infty} \exp\left( x\left( 1 - 10 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} \right) \right) = +\infty
Donc \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\exp(x)}{x^{10}} = +\infty .
Quelle est la limite de \dfrac{\exp(x)}{x^{100}} ?
On a :
\dfrac{\exp(x)}{x^{100}} = \dfrac{\exp(x)}{\exp\left( \ln\left( x^{100} \right)\right)}
\dfrac{\exp(x)}{x^{100}} = \dfrac{\exp(x)}{\exp\left( 100 \ln\left( x \right)\right)} car \ln(x^n) = n \ln(x), \forall n, x > 0
\dfrac{\exp(x)}{x^{100}} = \exp\left( x - 100 \ln\left( x \right) \right) car \dfrac{exp(a)}{\exp(b)} = \exp(a-b), \forall a,b \in \mathbb{R}
En factorisant par x :
\dfrac{\exp(x)}{x^{100}} = \exp\left( x\left( 1 - 100 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} \right) \right)
D'après les théorèmes de croissance comparée, on sait que :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0
Donc :
\lim\limits_{x \to +\infty} 1 - 100 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} = 1
et
\lim\limits_{x \to +\infty} x\left( 1 - 100 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} \right)= +\infty
On conclut :
\lim\limits_{x \to +\infty} \exp\left( x\left( 1 - 100 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} \right) \right) = +\infty
Donc \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\exp(x)}{x^{100}} = +\infty .
Quelle est la limite de \dfrac{\exp(x)}{x^{-2}} ?
On a :
\dfrac{\exp(x)}{x^{-2}} = \dfrac{\exp(x)}{\exp\left( \ln\left( x^{-2} \right)\right)}
\dfrac{\exp(x)}{x^{-2}} = \dfrac{\exp(x)}{\exp\left( -2 \ln\left( x \right)\right)} car \ln(x^n) = n \ln(x), \forall n, x > 0
\dfrac{\exp(x)}{x^{-2}} = \exp\left( x + 2 \ln\left( x \right) \right) car \dfrac{exp(a)}{\exp(b)} = \exp(a-b), \forall a,b \in \mathbb{R}
En factorisant par x :
\dfrac{\exp(x)}{x^{-2}} = \exp\left( x\left( 1 + 2 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} \right) \right)
D'après les théorèmes de croissance comparée, on sait que :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0
Donc :
\lim\limits_{x \to +\infty} 1+ 2 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} = 1
et
\lim\limits_{x \to +\infty} x\left( 1 + 2 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} \right)= +\infty
On conclut :
\lim\limits_{x \to +\infty} \exp\left( x\left( 1 + 2 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} \right) \right) = +\infty
Donc \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\exp(x)}{x^{-2}} = +\infty .
Quelle est la limite de \dfrac{\exp(x)}{x^{-4}} ?
On a :
\dfrac{\exp(x)}{x^{-4}} = \dfrac{\exp(x)}{\exp\left( \ln\left( x^{-4} \right)\right)}
\dfrac{\exp(x)}{x^{-4}} = \dfrac{\exp(x)}{\exp\left( -4 \ln\left( x \right)\right)} car \ln(x^n) = n \ln(x), \forall n, x > 0
\dfrac{\exp(x)}{x^{-4}} = \exp\left( x + 4 \ln\left( x \right) \right) car \dfrac{exp(a)}{\exp(b)} = \exp(a-b), \forall a,b \in \mathbb{R}
En factorisant par x :
\dfrac{\exp(x)}{x^{-4}} = \exp\left( x\left( 1 + 4 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} \right) \right)
D'après les théorèmes de croissance comparée, on sait que :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0
Donc :
\lim\limits_{x \to +\infty} 1+ 4 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} = 1
et
\lim\limits_{x \to +\infty} x\left( 1 + 4 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} \right)= +\infty
On conclut :
\lim\limits_{x \to +\infty} \exp\left( x\left( 1 + 4 \dfrac{ \ln\left( x \right) }{x} \right) \right) = +\infty
Donc \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\exp(x)}{x^{-4}} = +\infty .