Déterminer la limite d'une fonction carré composée par une fonction affine Exercice

On a :
(3x + 2)^2 = 9x^2 + 2 \times 3x \times 2 + 4 = 9x^2 + 12x + 4

On factorise par le terme de plus haut degré, ici 9x^2 :
(3x + 2)^2 = 9x^2 \left( 1 + \dfrac{12}{9x} + \dfrac{4}{9x^2} \right)

Or :
\lim\limits_{x \to +\infty} 1 + \dfrac{12}{9x} + \dfrac{4}{9x^2} = 1
et
\lim\limits_{x \to +\infty} 9x^2 = +\infty

On a :
 (-2x+1)^2 = 4x^2 + 2 \times (-2x) \times 1 + 1 = 4x^2 -4x + 1

On factorise par le terme de plus haut degré, ici 4x^2 :
(-2x+1)^2 = 4x^2 \left( 1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{1x^2} \right)

Or :
\lim\limits_{x \to -\infty} 1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{1x^2} = 1
et
\lim\limits_{x \to -\infty} 4x^2 = +\infty

On a :
(4x-1)^2 = 16x^2 + 2 \times 4x \times (-1) + 1 = 16x^2 - 8x + 1 

On factorise par le terme de plus haut degré, ici 16x^2 :
(4x-1)^2 = 16x^2 \left( 1 - \dfrac{1}{2x} + \dfrac{1}{16x^2} \right)

Or :
\lim\limits_{x \to +\infty} 1 - \dfrac{1}{2x} + \dfrac{1}{16x^2} = 1
et
\lim\limits_{x \to +\infty} 16x^2 = +\infty

On a :
(-x-1)^2 = x^2 + 2 \times (-x) \times (-1) + 1 = x^2 + 2x + 1 

On factorise par le terme de plus haut degré, ici x^2 :
(-x-1)^2 = x^2 \left( 1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2} \right)

Or :
\lim\limits_{x \to -\infty} 1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 1
et
\lim\limits_{x \to -\infty} x^2 = +\infty

On a :
(x+10)^2 = x^2 + 2 \times x \times 10 + 100 = x^2 + 20x + 100 

On factorise par le terme de plus haut degré, ici x^2 :
(x+10)^2 = x^2 \left( 1 + \dfrac{20}{x} + \dfrac{100}{x^2} \right)

Or :
\lim\limits_{x \to +\infty} 1 + \dfrac{20}{x} + \dfrac{100}{x^2} = 1
et
\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty