Déterminer la limite d'un polynôme du second degré Exercice

Pour déterminer la limite d'un polynôme en - \infty ou  + \infty , on factorise par le terme de plus haut degré.

Ici on factorise par x^2 :
P(x) = x^2 + 3x + 4
P(x) = x^2 \left( 1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{x^2} \right)

Or :
\lim\limits_{x \to +\infty} 1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{x^2} = 1

Donc :
 \lim\limits_{x \to +\infty} P(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} x^2 \left( 1 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{x^2} \right) = + \infty
car   \lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty

Pour déterminer la limite d'un polynôme en - \infty ou  + \infty , on factorise par le terme de plus haut degré.

Ici on factorise par 4x^3  :
P(x) = 4x^3 + 2x - 1 
P(x) = 4x^3 \left( 1 + \dfrac{1}{2x^2} - \dfrac{1}{4x^3} \right)

Or :
\lim\limits_{x \to +\infty} 1 + \dfrac{1}{2x^2} - \dfrac{1}{4x^3} = 1

Donc :
 \lim\limits_{x \to +\infty} P(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} 4x^3 \left( 1 + \dfrac{1}{2x^2} - \dfrac{1}{4x^3} \right) = + \infty
car   \lim\limits_{x \to +\infty} 4x^3 = +\infty

Pour déterminer la limite d'un polynôme en - \infty ou  + \infty , on factorise par le terme de plus haut degré.

Ici, on factorise par 2x^6  :
P(x) = 2x^6 - 3x^4 - 4x^2
P(x) = 2x^6 \left( 1 - \dfrac{3}{2x^2} - \dfrac{2}{x^4} \right)

Or :
\lim\limits_{x \to -\infty} 1 - \dfrac{3}{2x^2} - \dfrac{2}{x^4} = 1

Donc :
 \lim\limits_{x \to -\infty} P(x) = \lim\limits_{x \to -\infty} 2x^6 \left( 1 - \dfrac{3}{2x^2} - \dfrac{2}{x^4} \right) = + \infty
car   \lim\limits_{x \to -\infty} 2x^6 = +\infty

Pour déterminer la limite d'un polynôme en - \infty ou  + \infty , on factorise par le terme de plus haut degré.

Ici, on factorise par -3x^2  :
P(x) = -3x^2 + x + 5
P(x) = -3x^2 \left( 1 - \dfrac{1}{3x} - \dfrac{5}{3x^2} \right)

Or :
\lim\limits_{x \to +\infty} 1 - \dfrac{1}{3x} - \dfrac{5}{3x^2} = 1

Donc :
 \lim\limits_{x \to +\infty} P(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} -3x^2 \left( 1 - \dfrac{1}{3x} - \dfrac{5}{3x^2} \right) = - \infty
car   \lim\limits_{x \to +\infty} -3x^2 = -\infty

Pour déterminer la limite d'un polynôme en - \infty ou  + \infty , on factorise par le terme de plus haut degré.

Ici, on factorise par -3x^2  :
P(x) = -3x^3 + 2x^2 + 3
P(x) = -3x^3 \left( 1 - \dfrac{2}{3x} - \dfrac{1}{x^3} \right)

Or :
\lim\limits_{x \to -\infty} 1 - \dfrac{2}{3x} - \dfrac{1}{x^3} = 1

Donc :
 \lim\limits_{x \to -\infty} P(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} -3x^3 \left( 1 - \dfrac{2}{3x} - \dfrac{1}{x^3} \right) = + \infty
car   \lim\limits_{x \to -\infty} -3x^3 = + \infty