On définit f par f(x) = (1-x)(x^2+3) .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) ?
f est définie en tant que produit de deux fonctions.
On étudie la limite de chaque partie du produit afin de déterminer la limite de f.
x\rightarrow 1 -x est une fonction polynôme. La limite d'une fonction polynôme dépend seulement de son terme de plus haut degré, ici -x.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } -x = - \infty , on a \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} -x+1 = - \infty .
x\rightarrow x^2+3 est une fonction polynôme. La limite d'une fonction polynôme dépend seulement de son terme de plus haut degré, ici x^2.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } x^2 = + \infty , on a \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} x^2+3 = +\infty .
Ainsi f est un produit d'une fonction qui tend vers -\infty et d'une fonction qui tend vers +\infty, donc il n'y a pas de forme indéterminée et par produit de limites on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) = - \infty
On définit f par f(x) = \sqrt{x}(2x^3+2x-4) .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) ?
f est définie en tant que produit de deux fonctions.
On étudie la limite de chaque partie du produit afin de déterminer la limite de f.
x\rightarrow \sqrt{x} est la fonction racine dont on connaît la limite directement grâce au cours.
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \sqrt{x} = + \infty
x\rightarrow 2x^3+2x-3 est une fonction polynôme. La limite d'une fonction polynôme dépend seulement de son terme de plus haut degré, ici 2x^3.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } 2x^3 = + \infty , on a \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} 2x^3+2x -3 = +\infty .
Ainsi f est un produit de deux fonctions qui tendent vers +\infty quand x tend vers + \infty donc il n'y a pas de forme indéterminée et par produit de limites on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) = + \infty
On définit f par f(x) = \sqrt{x}(-x+4) .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) ?
f est définie en tant que produit de deux fonctions.
On étudie la limite de chaque partie du produit afin de déterminer la limite de f.
x\rightarrow \sqrt{x} est la fonction racine dont on connaît la limite directement grâce au cours.
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \sqrt{x} = + \infty
x\rightarrow -x+4 est une fonction polynôme. La limite d'une fonction polynôme dépend seulement de son terme de plus haut degré, ici -x+4.
Comme \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } -x = - \infty , on a \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} -x+4 = -\infty .
Ainsi f est un produit d'une fonction qui tend vers +\infty et d'une fonction qui tend vers -\infty quand x tend vers + \infty donc il n'y a pas de forme indéterminée et par produit de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) = - \infty
On définit f par f(x) = \dfrac{1}{x} \left( 2 - \dfrac{1}{x} \right) .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) ?
f est définie en tant que produit de deux fonctions.
On étudie la limite de chaque partie du produit afin de déterminer la limite de f.
x\rightarrow \dfrac{1}{x} est la fonction inverse dont on connaît la limite directement grâce au cours.
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \dfrac{1}{x} = 0
x\rightarrow 2-\dfrac{1}{x} est une somme de fonctions dont on connaît les limites :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } 2 = 2
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{1}{x} = 0
Par conséquent :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } 2- \dfrac{1}{x} = 2
Ainsi f est un produit d'une fonction qui tend vers 0 et d'une fonction qui tend vers 2 quand x tend vers + \infty donc il n'y a pas de forme indéterminée et par produit de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) =0
On définit f par f(x) = \sqrt{x} \times |x| .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) ?
f est définie en tant que produit de deux fonctions.
On étudie la limite de chaque partie du produit afin de déterminer la limite de f.
x\rightarrow \sqrt{x} est la fonction racine dont on connaît la limite directement grâce au cours.
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} \sqrt{x} = +\infty
x\rightarrow |x| est la fonction valeur absolue dont on connaît la limite directement grâce au cours (pour rappel, la fonction valeur absolue est égale x si x \geq 0 et à -x sinon ; par conséquent, lorsque x\rightarrow + \infty , on a : |x|=x) :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} |x| = +\infty
Ainsi f est un produit de deux fonctions qui tendent vers +\infty quand x tend vers + \infty donc il n'y a pas de forme indéterminée et par produit de limites, on obtient :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } f(x) =+\infty