On définit la fonction f par f(x) = (2x^2-2x+1)\dfrac{1}{3x^2-4x+1} .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x) ?
f est définie en tant que produit de fonctions.
On détermine la limite des deux fonctions pour déterminer la limite de f.
x\rightarrow 2x^2 -2x+1 est une fonction polynôme dont la limite en +\infty dépend donc seulement de son terme de plus haut degré, ici 2x^2. \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } 2x^2 = +\infty donc \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } 2x^2 -2x +1 = +\infty.
x\rightarrow \dfrac{1}{3x^2-4x+1} est une fonction inverse composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } 3x^2 -4x +1 = +\infty (de manière analogue à la fonction précédente).
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{1}{x} = 0
Par composition de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{1}{3x^2 -4x +1} = 0
La limite de f en +\infty est donc sous forme indéterminée. Pour lever une indétermination impliquant des formes polynômiales, on peut factoriser par le terme de plus haut degré de chaque polynôme :
f(x) = (2x^2-2x+1) \dfrac{1}{3x^2-4x+1} = x^2\left(2-\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)\times \dfrac{1}{x^2} \times \dfrac{1}{3 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2}} = \left(2-\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right) \times \dfrac{1}{3 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2}}
On obtient donc :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \left(2-\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right) = 2
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \dfrac{1}{3 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2}} = \dfrac{1}{3}
Ce n'est plus une forme indéterminée et, par produit de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = \dfrac{2}{3}
On définit la fonction f par f(x) = \sqrt{\dfrac{1}{x}} (2x+1) .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x) ?
f est définie en tant que produit de fonctions.
On détermine la limite des deux fonctions pour déterminer la limite de f.
x\rightarrow 2x+1 est une fonction affine croissante, donc :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty } 2x+1 = +\infty
x\rightarrow \sqrt{\dfrac{1}{x}} est une fonction racine composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{1}{x} = 0
- La fonction racine est définie en 0 et \lim\limits_{x\rightarrow 0} \sqrt{x} = 0.
Par composition de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \sqrt{\dfrac{1}{x}} = 0
La limite de f en +\infty est donc sous forme indéterminée. Pour lever une indétermination impliquant des puissances de x et en se rappelant que \sqrt{x} = x^{1/2} , on peut factoriser par le terme de plus haut degré de chaque fonction :
f(x) = \sqrt{\dfrac{1}{x}}(2x+1) = \sqrt{\dfrac{1}{x}} \times x \times \left(2 + \dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{x}{x^{1/2}} \times \left(2+ \dfrac{1}{x}\right) = x^{1/2} \left(2+\dfrac{1}{x}\right) = \sqrt{x}\left(2+\dfrac{1}{x}\right)
Il faut ici utiliser la règle de calcul sur les puissances :
\dfrac{x^a}{x^b} = x^{a-b}
On obtient donc :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } 2 + \dfrac{1}{x}= 2
Ce n'est plus une forme indéterminée et, par produit de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty
On définit la fonction f par f(x) = \sqrt{x-1} \dfrac{1}{-2x+3} .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x) ?
f est définie en tant que produit de fonctions.
On détermine la limite des deux fonctions pour déterminer la limite de f.
x\rightarrow \sqrt{x-1} est une fonction racine composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } x-1 = +\infty
- La fonction racine est définie en +\infty et \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty.
Par composition de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \sqrt{x-1} = +\infty
x\rightarrow \dfrac{1}{-2x+3} est une inverse composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } -2x+3 = -\infty en tant que fonction affine décroissante.
- La fonction inverse est définie en -\infty et \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \dfrac{1}{x} = 0.
Par composition de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{1}{-2x+3} = 0
La limite de f en +\infty est donc sous forme indéterminée. Pour lever une indétermination impliquant des puissances de x et en se rappelant que \sqrt{x} = x^{1/2} , on peut factoriser par le terme de plus haut degré de chaque fonction :
f(x) = \sqrt{x-1} \times \dfrac{1}{-2x+3} = \sqrt{x} \times \sqrt{1-\dfrac{1}{x}} \times \dfrac{1}{x} \times \dfrac{1}{-2+\dfrac{3}{x}}
Il faut ici utiliser la règle de calcul sur les puissances :
\dfrac{x^a}{x^b} = x^{a-b}
\dfrac{\sqrt{x}}{x} = x^{1/2-1} = x^{-1/2} = \dfrac{1}{x^{1/2}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}
On déduit que :
f(x)= \dfrac{1}{\sqrt{x}} \times \sqrt{1-\dfrac{1}{x}} \times \dfrac{1}{-2+\dfrac{3}{x}}
Finalement, f est un produit de trois fonctions dont on peut calculer les limites :
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0 (fonction inverse composée avec \lim\limits_{x\rightarrow + \infty}\sqrt{x} = + \infty )
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty } \sqrt{1 - \dfrac{1}{x}}= 1
- \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \dfrac{1}{-2+\dfrac{3}{x}} = \dfrac{-1}{2}
Ce n'est plus une forme indéterminée et, par produit de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = 0
On définit la fonction f par f(x) = \exp{(-x)} (3x^2-4x+5) .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} f(x) ?
f est définie en tant que produit de fonctions.
On détermine la limite des deux fonctions pour déterminer la limite de f.
x\rightarrow \exp{(-x)} est une fonction composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow +\infty } (-x) = -\infty
- \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \exp{(x)} = 0
Par composition de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty } \exp{(-x)} = 0
x\rightarrow \left(3x^2-4x+5\right) est une fonction polynômiale dont la limite en +\infty ne dépend que du terme de plus haut degré, ici 3x^2.
\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} 3x^2= +\infty
Donc :
\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \left(3x^2-4x+5\right) = +\infty
La limite de f en +\infty est donc sous forme indéterminée.
Cette forme indéterminée comprend une fonction exponentielle et une fonction polynômiale.
Le théorème de croissance comparée stipule que la fonction exponentielle « domine » les fonctions du type x\mapsto x^n.
Or, pour tout réel x, on a :
f(x)=\dfrac{3x^2-4x+5}{\exp(x)}=\dfrac{3x^2}{\exp(x)}-\dfrac{4x}{\exp(x)}+\dfrac{5}{\exp(x)}
D'après les croissances comparées, on en déduit :
\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3x^2}{\exp(x)}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{-4x}{\exp(x)}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{5}{\exp(x)}=0
Par somme, on obtient donc :
\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = 0
On définit la fonction f par f(x) = \ln{(x^2-1)} (x-1) .
Quelle est la valeur de \lim\limits_{x\rightarrow 1^+} f(x) ?
f est définie en tant que produit de fonctions.
On détermine la limite des deux fonctions pour déterminer la limite de f.
x\rightarrow \ln{(x^2-1)} est une fonction composée.
- \lim\limits_{x\rightarrow 1^+} \left(x^2-1\right) = 0^+
- \lim\limits_{x\rightarrow 0^+ } \ln{x} = -\infty
Par composition de limites :
\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} \ln{(x^2-1)} = -\infty
\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} (x-1) = 0
La limite de f en +\infty est donc sous forme indéterminée.
On sait que \lim\limits_{x\rightarrow 0^+} x\ln(x) = 0 .
Pour tout réel x>1, on a :
f(x)=\ln\left[(x+1)(x-1)\right](x-1)
f(x)=(x-1)\ln(x+1)+(x-1)\ln(x-1)
- \lim\limits_{x\rightarrow 1^+} (x-1) = 0^+
- \lim\limits_{x\rightarrow 1^+} \ln(x+1) = \ln(2)
Par produit, \lim\limits_{x\rightarrow 1^+} (x-1)\ln(x+1) = 0 .
\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} (x-1)\ln(x-1)=\lim\limits_{X\rightarrow 0^+} X\ln(X) = 0
Par somme, on a donc :
\lim\limits_{x\rightarrow 1^+} f(x) = 0