Soit un losange ABCD tel que I est le point d'intersection des diagonales, et tel que \widehat{BAD} = 120°.
Quelle est la valeur de l'angle \widehat{ADI} ?
Les diagonales d'un losange étant aussi les bissectrices des angles du losange, on a \widehat{IAD} = \dfrac{\widehat{IAD}}{2} = 60°.
De plus, comme les diagonales se coupent perpendiculairement, le triangle IAD est rectangle en I.
Or on sait que la somme des angles dans un triangle vaut 180°.
On peut donc écrire :
\widehat{ADI} = 360 - \widehat{IAD} + \widehat{AID\\}\\\Leftrightarrow \widehat{ADI} = 180 - 60 - 90\\\Leftrightarrow \widehat{ADI} = 30
Ainsi, \widehat{ADI} = 30°.
Soit un losange ABCD tel que I est le point d'intersection des diagonales, et tel que \widehat{ABI} = 25°.
Quelle est la valeur de l'angle \widehat{BAD} ?
Les diagonales d'un losange étant aussi les bissectrices des angles du losange, on a \widehat{ABC} = 2\widehat{ABI} = 50.
De plus, on sait que \widehat{ABC} = \widehat{ADC} et \widehat{BAD} = \widehat{BCD}, et que la somme des angles dans un quadrilatère vaut 360°.
On a donc :
\widehat{BAD} + \widehat{BAC} = 360 - (\widehat{ABC}+ \widehat{ADC})\\\Leftrightarrow 2\widehat{BAD} =360 - 2\widehat{ABC}\\\Leftrightarrow \widehat{BAD} =180 - \widehat{ABC}\\\Leftrightarrow \widehat{BAD} =180 - 50
Ainsi, \widehat{BAD} =130.
Soit un rectangle ABCD tel que I est le point d'intersection des diagonales et tel que \widehat{IBC} = 62.
Quelle est la valeur de l'angle \widehat{IBA} ?
On sait que \widehat{ABC} = 90° = \widehat{ABI} +\widehat{IBC}.
D'où :
\widehat{IBA} = 90 - \widehat{IBC}\\\Leftrightarrow \widehat{IBA} = 90 - 62
Ainsi, \widehat{IBA} = 28°.
Soit un rectangle ABCD tel que \widehat{CAB} = 39°.
Quelle est la valeur de l'angle \widehat{ACD} ?
On sait que la somme des angles d'un triangle vaut 180°.
Dans le cas du triangle ABC, on a :
\widehat{BCA} + \widehat{CAB} + \widehat{CBA} = 180\\\Leftrightarrow\widehat{BCA} = 180 - \widehat{CAB} - \widehat{CBA}\\\\\Leftrightarrow\widehat{BCA} = 180 - 39 - 90\\\Leftrightarrow\widehat{BCA} = 51°
On sait que \widehat{BCD} = 90° = \widehat{BCA} +\widehat{ACD}.
D'où :
\widehat{ACD} = 90 - \widehat{BCA}\\\Leftrightarrow \widehat{ACD} = 90 - 51
Ainsi, \widehat{ACD} = 39°.
Soit le trapèze ABCD rectangle en C et D représenté ci-dessous tel que \widehat{BAC} = 106° et \widehat{ABC}=40°.
Quelle est la valeur de l'angle \widehat{ACD} ?
Dans le triangle ABC, la somme des angles vaut 180°.
Donc, pour trouver la mesure de l'angle \widehat{ACB}, on fait le calcul :
\widehat{ACB}=180° - \widehat{BAC} - \widehat{ABC} = 180° - 106° - 40° = 34°
On a donc \widehat{ACB} = 34°.
De plus, on voit que les angles \widehat{ACB} et \widehat{ACD} sont complémentaires,
donc \widehat{ACB} + \widehat{ACD} = 90°,
soit \widehat{ACD} = 90° - \widehat{ACB}=90° - 34° = 56°.
D'où : \widehat{ACD} = 56°.
Ainsi, \widehat{ACD} = 56°.