La géométrie dans un triangle
Les triangles (non plats) sont définis par trois points non alignés. On peut définir des droites remarquables dans un triangle et calculer son aire. On peut utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles.
Généralités
On rappelle la définition de quelques droites remarquables dans un triangle non plat : les hauteurs, les médianes, les médiatrices et les bissectrices.
Les hauteurs d'un triangle
Hauteur d'un triangle
Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé orthocentre du triangle.
Une des hauteurs peut être située à l'extérieur du triangle.
Les médianes d'un triangle
Médiane d'un triangle
Une médiane d'un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé centre de gravité du triangle, et est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant des sommets respectifs.
Les médiatrices d'un triangle
Médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu.
Les médiatrices des trois côtés d'un triangle sont concourantes. Le point d'intersection des médiatrices d'un triangle est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Les bissectrices d'un triangle
Bissectrice d'un angle
La bissectrice d'un angle est la demi-droite partant du sommet de l'angle qui le divise en deux angles de même mesure.
Les bissectrices des trois angles d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
Les triangles rectangles
Si ABC est triangle rectangle en A, alors la longueur de sa médiane issue du sommet A est égale à la moitié de son hypoténuse.
Réciproquement, si la longueur de la médiane issue du sommet A du triangle ABC est égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle ABC est rectangle en A.
Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse.
Réciproquement, si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre un de ses côtés, alors le triangle est rectangle.
Les fonctions trigonométriques
Formule trigonométrique
Soit ABC un triangle rectangle en B. On appelle \alpha l'angle BAC. On définit les fonctions trigonométriques par les formules suivantes :
- \cos(\alpha) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AB}{AC}
- \sin(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{BC}{AC}
- \tan(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{BC}{AB}
On peut ainsi obtenir les formules :
AB = AC \times \cos(\alpha) \quad \text{et} \quad BC = AC \times \sin(\alpha)
Soient ABC un triangle rectangle en B et \alpha l'angle BAC. On a :
\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1
On sait que AB = AC \times \cos(\alpha) et BC = AC \times \sin(\alpha).
Or, d'après le théorème de Pythagore, on a :
AC^2 = AB^2 + BC^2
Ainsi :
AC^2 = (AC\times \cos(\alpha))^2 + (AC \times \sin(\alpha))^2 = AC^2 \cos^2(\alpha) + AC^2 \sin^2(\alpha)
En simplifiant tout par AC^2, on retrouve :
1 = \cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)
Le projeté orthogonal d'un point M sur une droite
Le projeté orthogonal d'un point est une notion géométrique qui a des applications concrètes dans de nombreux domaines en science. En effet, le projeté orthogonal permet de minimiser la distance entre un point et une droite. Grâce à cette propriété, le projeté orthogonal permet de résoudre des problèmes d'optimisation.
Projeté orthogonal d'un point
Soient \Delta une droite du plan et M un point du plan. On définit le projeté orthogonal d'un point M sur la droite \Delta comme étant le point M' tel que MM' soit perpendiculaire à \Delta.
Si M est déjà sur \Delta, alors son projeté M' est le même point que M.
Le projeté orthogonal du point M sur une droite \Delta est le point de \Delta le plus proche de M.
On donne la démonstration de cette propriété.
Soient \Delta une droite, M un point du plan, et M' le projeté de M sur la droite \Delta. Soit un point A quelconque de \Delta différent de M'. Ainsi, quel que soit A sur la droite \Delta, il faut montrer que la distance AM est plus grande que la distance M'M. Autrement dit, il faut montrer que pour tout point A du plan}, AM \geq M'M.
Si jamais M est sur la droite \Delta, alors M' et M sont les mêmes points, donc M'M = 0, et ainsi il est clair que AM est une longueur plus grande que M'M.
Si M n'est pas sur la droite \Delta, alors le triangle AMM' n'est pas plat. De plus, ce triangle est rectangle en M' et d'hypoténuse AM. D'après le théorème de Pythagore, on a donc :
AM'^2 + MM'^2 = AM^2
Ainsi, puisque AM'^2 \geq 0, on a :
AM^2 = AM'^2 + MM'^2 \geq 0 + MM'^2
On obtient :
AM^2 \geq MM'^2
Puisque AM et MM' sont des longueurs, ce sont des nombres réels positifs, donc on obtient finalement :
AM \geq MM'
C'est ce que l'on voulait démontrer.
On peut remarquer avec la figure suivante que le point qui minimise la distance entre MM' est sur le cercle \mathcal{C} de centre M tangent à la droite \Delta.
On voit que MM'=BM et AM = AB + BM donc AM est plus grand que MM'.
Les quadrilatères
Il existe différents quadrilatères qui ont des propriétés particulières : le parallélogramme, le losange, le rectangle et le carré.
Le parallélogramme
Parallélogramme
Un quadrilatère convexe (c'est-à-dire non croisé) est un parallélogramme, si et seulement si l'une des propriétés suivantes est vérifiée :
- Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
- Ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur.
- Deux des sections côtés sont parallèles et de même longueur.
- Ses diagonales se coupent en leur milieu.
Le losange
Losange
Un quadrilatère convexe est un losange si et seulement si tous ces côtés sont de même longueur.
Un parallélogramme est un losange si et seulement si l'une des propriétés suivantes est vérifiée :
- Deux de ses côtés consécutifs sont de même longueur.
- Ses diagonales sont perpendiculaires.
Le rectangle
Rectangle
Un quadrilatère est un rectangle si et seulement s'il possède trois angles droits.
Un parallélogramme est un rectangle si et seulement si l'une des propriétés suivantes est vérifiée :
- Un de ses angles est droit.
- Ses diagonales sont de même longueur.
Le carré
Carré
Si un quadrilatère est à la fois losange et rectangle, alors ce quadrilatère est un carré.
Les aires et les volumes
Certaines formules permettent de calculer les aires des polygones et les volumes des polyèdres les plus simples.
Les aires
L'aire du quadrilatère
L'aire A d'un parallélogramme est égale au produit de la base par la hauteur :
A = B \times h
L'aire d'un triangle
L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit d'une hauteur par la longueur de la base correspondante.
Avec b la longueur de sa base et h la longueur de sa hauteur, en notant A l'aire du triangle, on obtient ainsi la formule :
A = \frac{h \times b }{2}
Un triangle possédant trois hauteurs, il existe trois calculs possibles de son aire.
Les triangles ABC et BCD sont de même aire (car en rotation). Mais ABDC est un parallélogramme, donc l'aire du triangle ABC est la moitié de l'aire du parallélogramme, ce qui explique le facteur \frac{1}{2} dans la formule de l'aire du triangle.
L'aire du trapèze
L'aire A d'un trapèze est égale à la moitié du produit de la hauteur par la somme des bases :
A = \frac{h(b + B)}{2}
On peut comprendre cette formule à l'aide de la figure suivante. En effet, le parallélogramme DKLC est formé de deux trapèzes ABCD et BAKL qui sont de même aire.
L'aire d'un disque
L'aire A d'un disque de rayon R est égale à :
A= \pi R^2
Les volumes
Le volume d'un parallélépipède
Le volume V d'un parallélépipède rectangle est égal à :
V = L \times l \times h
Le volume d'une pyramide
Le volume V d'une pyramide est égal à :
V = \frac{1}{3} \times h \times B
Le volume d'un cylindre
Le volume V d'un cylindre de révolution est égal à :
V = h \times \pi R^2
Le volume d'un cône
Le volume V d'un cône de révolution est égal à :
V = \frac{1}{3} \times h \times \pi R^2
Le volume d'une boule
Le volume V d'une boule de rayon R est égal à :
V = \frac{4}{3} \times \pi R^3
